ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 15

กำหนดให้ $A, B$ และ $C$ เป็นจุดในระบบพิกัดฉาก $3$ มิติ จงพิจารณาข้อความ $4$ ข้อความต่อไปนี้

(ก) $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{0}$

(ข) $|\vec{A B} \cdot \vec{B C}| \leq |\vec{A B}| |\vec{B C}|$

(ค) $\vec{A B} \times \vec{B C} = \vec{C A} \times \vec{B A}$

(ง) $\vec{A B} \cdot (\vec{B C} \times \vec{C A}) = \vec{C A} \cdot (\vec{A B} \times \vec{B C})$

จำนวนข้อความที่ถูกต้องเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$0$ (ไม่มีข้อความใดถูกต้อง)
2
$1$
3
$2$
4
$3$
5
$4$

เฉลยข้อสอบ

$กฏของเวกเตอร์ \bar{u} \cdot \bar{v} = \bar{v} \cdot \bar{u} \bar{u} \times \bar{v} = - \bar{v} \times \bar{u} \bar{u} \cdot (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \times \bar{v}) \cdot \bar{w} \to 1$

$(ก) . จากโจทย์ \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = 0 ผลรวมของเวกเตอร์ ถ้าเริ่มจากจุดใดแล้วกลับมายังจุดเริ่มต้น จะได้ ผลรวมเป็น \vec{0} เสมอ (เวกเตอร์ \vec{0}) ดังนั้น ข้อ (ก) ถูกต้อง$

$(ข) . จากโจทย์ |\vec{A B} \cdot \vec{B C}| \leq |\vec{A B}| |\vec{B C}| \to 2 สูตรเวกเตอร์ u \cdot v = |u| |v| \cos θ จาก 2 จะได้ ||A B| |B C| \cos θ| \leq |A B| |B C| |\cos θ| \leq 1 - 1 \leq \cos θ \leq 1 ดังนั้น ข้อ (ข) ถูกต้อง$

$(ค) . จากโจทย์ \vec{A B} \times \vec{B C} = \vec{C A} \times \vec{B A} โดย \vec{A B} \times \vec{B C} = - (\vec{B C} \times \vec{A B}) = - [(- \vec{C B)} \times (- \vec{B A})]$

$= \vec{C B} \times \vec{B A} ดังนั้น \vec{A B} \times \vec{B C} \neq \vec{C A} \times \vec{B A} ข้อ (ค) ผิด$

$(ง) . จากโจทย์ \vec{A B} \cdot (\vec{B C} \times \vec{C A}) = \vec{C A} \cdot (\vec{A B} \times \vec{B C}) จาก 1 จะได้ \vec{A B} \cdot (\vec{B C} \times \vec{C A}) = (\vec{A B} \times \vec{B C}) \cdot \vec{C A} โดย \bar{u} \cdot \bar{v} = \bar{v} \cdot \bar{u}; = \vec{C A} \cdot (\vec{A B} \times \vec{B C}) ดังนั้น ข้อ (ง) ถูกต้อง$