ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 17

ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ ${|x^{2} + 5 x + 5|}^{(x - 5)} = 1$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- 5$
2
$- \frac{5}{2}$
3
$0$
4
$\frac{5}{2}$
5
$5$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ {|x^{2} + 5 x + 5|}^{(x - 5)} = 1 A^{B} = 1 แบ่งได้เป็น 3 กรณี คือ กรณี 1 1^{□} = 1 เมื่อ □ เป็นจำนวนอะไรก็ได้ จะได้ |x^{2} + 5 x + 5| = 1 \to 1 กรณี 2 {(- 1)}^{□} = 1 เมื่อ □ เป็นจำนวนคู่ จะได้ |x^{2} + 5 x + 5| = - 1 เป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก || \geq 0 เสมอ$

$กรณี 3 □^{0} = 1 เมื่อ □ \neq 0 จะได้ |x^{2} + 5 x + 5| \neq 0 และ x - 5 = 0 |x^{2} + 5 x + 5| \neq 0 และ x = 5 \to 2 ดังนั้น พิจารณาเฉพาะ กรณี 1 และ กรณี 3 เท่านั้น$

$จาก 1 |x^{2} + 5 x + 5| = 1 จะได้ x^{2} + 5 x + 5 = 1 หรือ x^{2} + 5 x + 5 = - 1 x^{2} + 5 x + 4 = 0 x^{2} + 5 x + 6 = 0 (x + 4) (x + 1) = 0 (x + 3) (x + 2) = 0 x = - 4, - 1 x = - 3, - 2 ดังนั้น กรณี 1 จะได้ x = - 4, - 3, - 2, - 1$

$จาก 2 |x^{2} + 5 x + 5| \neq 0 และ x = 5 แทน x = 5 ลงใน |x^{2} + 5 x + 5| \neq 0 |5^{2} + 5 (5) + 5| \neq 0 |55| \neq 0 55 \neq 0 แสดงว่า x = 5 เป็นคำตอบ ดังนั้น กรณี 3 จะได้ x = 5$

$จากโจทย์ ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ = (- 4) + (- 3) + (- 2) + (- 1) + 5 = - 5$