ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2562 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 28

ถ้า $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}, . . .$ เป็นลำดับของจำนวนจริงบวก ซึ่ง $a_{1} = 2$ และ $\log_{\frac{1}{3}} a_{1}, \log_{\frac{1}{3}} a_{2}, . . ., \log_{\frac{1}{3}} a_{n}, . . .$

เป็นลำดับเลขคณิต ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ $\frac{1}{2}$ แล้ว $\sum_{i = 1}^{\infty} a_{i}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$3 + \sqrt{3}$
2
$3 + 2 \sqrt{3}$
3
$3 + 3 \sqrt{3}$
4
$9$
5
$6 \sqrt{3}$

เฉลยข้อสอบ

$- สูตรลำดับเลขคณิต a_{n} = a_{1} + (n - 1) d \to 1 - สูตรลำดับเรขาคณิต a_{n} = a_{1} r^{n - 1} \to \to 2 - สูตรอนุกรมอนันต์ของเรขาคณิต \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} = \frac{a_{1}}{1 - r} \to 3 เมื่อ |r| < 1$

$จากโจทย์ a_{1} = 2 ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} a, \log_{\frac{1}{3}} a_{2}, . . ., \log_{\frac{1}{3}} a_{n}$

$- หาค่า a_{n} จาก 1 จะได้ \log_{\frac{1}{3}} a_{n} = \log_{\frac{1}{3}} 2 + (n - 1) \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} a_{n} - \log_{\frac{1}{3}} 2 = \frac{1}{2} (n - 1) \log_{\frac{1}{3}} (\frac{a_{n}}{2}) = \frac{1}{2} (n - 1)$

$\frac{a_{n}}{2} = {\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2} (n - 1)} \frac{a_{n}}{2} = {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{n - 1} a_{n} = 2 {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{n - 1}; โดย a_{1} = 2$

$จาก 2 จะได้ a_{n} = a_{1} r^{n - 1} แสดงว่า a_{n} เป็นลำดับเรขาคณิต r = \frac{1}{\sqrt{3}} จาก 3 จะได้ \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{2}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}$

$= \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} (\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}) = \frac{2 \sqrt{3} (\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = 3 + \sqrt{3} ดังนั้น \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} = 3 + \sqrt{3}$