ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 19

ให้ $a, b$ และ $c$ เป็นเวกเตอร์บนระนาบ โดยที่ $a + b + c = 0$ และมุมระหว่างเวกเตอร์

$a$ กับ $b$ เท่ากับ $60 °$ ถ้าขนาดของเวกเตอร์ $a$ และเวกเตอร์ $b$ เท่ากับ $2$ หน่วย และ $1$ หน่วย ตามลำดับ
แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์ $b$ กับเวกเตอร์ $c$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{π}{2} + \arccos \frac{2}{\sqrt{7}}$
2
$π - \arcsin \sqrt{\frac{3}{7}}$
3
$\frac{π}{2} + \arcsin \sqrt{\frac{3}{7}}$
4
$π - arccot \frac{\sqrt{3}}{2}$
5
$\frac{2 π}{3} + \arctan \frac{\sqrt{3}}{2}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ขนาดของเวกเตอร์ \bar{a} และเวกเตอร์ \bar{b} เท่ากับ 2 หน่วย และ 1 หน่วย ตามลำดับ จะได้ |\bar{a}| = 2, |\bar{b}| = 1$

$จากโจทย์ \bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = 0 \bar{a} + \bar{b} = - \bar{c} |\bar{a} + \bar{b}| = |- \bar{c}| {|\bar{a} + \bar{b}|}^{2} = {|- \bar{c}|}^{2}$

${|\bar{a}|}^{2} + {|\bar{b}|}^{2} + 2 |\bar{a}| |\bar{b}| \cos θ = {|\bar{c}|}^{2} 2^{2} + 1^{2} + 2 (2) (1) \cos 60 ° = {|\bar{c}|}^{2} 4 + 1 + 4 (\frac{1}{2}) = {|\bar{c}|}^{2} |\bar{c}| = \sqrt{7}$

$จากโจทย์ \bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = 0 \bar{b} + \bar{c} = - \bar{a} |\bar{b} + \bar{c}| = |- \bar{a}| {|\bar{b} + \bar{c}|}^{2} = {|- \bar{a}|}^{2} {|\bar{b}|}^{2} + {|\bar{c}|}^{2} + 2 \bar{b} \cdot \bar{c} = {|- \bar{a}|}^{2} 1 + {(\sqrt{7})}^{2} + 2 \bar{b} \cdot \bar{c} = 2^{2}$

$\bar{b} \cdot \bar{c} = - 2 |\bar{b}| |\bar{c}| \cos θ = - 2 1 (\sqrt{7}) \cos θ = - 2 \cos θ = \frac{- 2}{\sqrt{7}} θ = a r c \cos (\frac{- 2}{\sqrt{7}})$

$- โดย a r c \cos (- x) = π - arccosx จะได้ θ = π - \arccos (\frac{2}{\sqrt{7}}) \to 1$

$- โดย a r c \cos (\frac{2}{\sqrt{7}}) = a r c \sin \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = a r c \tan \frac{\sqrt{3}}{2} จาก 1 จะได้ θ = π - \arcsin \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} θ = π - \arctan \frac{\sqrt{3}}{2}$