ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2565 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 9

กำหนดวงกลมรัศมียาว $1$ หน่วย ดังรูป

ให้มุม $A O B$ มีขนาด $α$ เรเดียน โดยที่ $α \in (0, \frac{π}{2})$

ให้มุม $A O D$ มีขนาด $β$ เรเดียน โดยที่ $β \in (\frac{π}{2}, π)$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $A B = \sin α$

(ข) $B C = \sqrt{2 - 2 \sin α}$

(ค) ส่วนโค้ง $C D$ ยาว $β - \frac{π}{2}$ หน่วย

จากข้อความ (ก) (ข) และ (ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง

1
ข้อความ (ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
2
ข้อความ (ก) และ (ข) ถูกต้องเท่านั้น
3
ข้อความ (ก) และ (ค) ถูกต้องเท่านั้น
4
ข้อความ (ข) และ (ค) ถูกต้องเท่านั้น
5
ข้อความ (ก) (ข) และ (ค) ถูกต้อง

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ข้อ (ข) พิจารณาว่า B C = \sqrt{2 - 2 \sin α} หรือไม่ จากข้อ (ก) เราทราบว่า A B มีความยาวเท่ากับ \sin α และจากรูปสามเหลี่ยมหาความยาว 0 A จาก \cos α = \frac{0 A}{1} จะได้ 0 A มีความยาวเท่ากับ \cos α$

$ทำให้ทราบพิกัดของจุด B คือ (\cos α, \sin α) จากนั้นเราสามารถหาความยาว B C ได้จากเรขาคณิตวิเคราะห์ ความยาวเส้นตรง = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} จะได้ ความยาว B C = \sqrt{{(\cos α)}^{2} + {(\sin α - 1)}^{2}} = \sqrt{\cos α^{2} + \sin α - 2 \sin α + 1}$

$จากสมบัติเอกลักษณ์ตรีโกณ \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 ดังนั้น ความยาว B C = \sqrt{2 - 2 \sin α} ดังนั้น ข้อ (ข) ถูกต้อง$

$จากโจทย์ ข้อ (ค) พิจารณาว่าส่วนโค้ง C D ยาว β - \frac{π}{2} หน่วย หรือไม่ หาความยาวส่วนโค้งได้จาก ความยาวส่วนโค้ง = θ R จะได้ C D = (β - \frac{π}{2}) (1) C D = β - \frac{π}{2} ดังนั้น ข้อ (ค) ถูกต้อง$

ข้อถัดไป