ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2555 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 14

กำหนดให้ $\vec{u}$ และ $\vec{v}$ เป็นเวกเตอร์สามมิติซึ่งทำมุมป้านต่อกัน และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประกอบมุมเป็น $\vec{u}$ และ $\vec{v}$ มีค่าเท่ากับ $3$ ตารางหน่วย

ถ้า $\vec{u}$ และ $\vec{v}$ มีขนาด $1$ และ $5$ หน่วย ตามลำดับแล้ว $(2 \vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- 27$
2
$- 19$
3
$0$
4
$19$
5
$27$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประกอบ มุมเป็น \overset{⇀}{u} และ \overset{⇀}{v} มีค่าเท่ากับ 3 ตารางหน่วย จะได้ |\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{v}| = 3 จากโจทย์ \overset{⇀}{u} และ \overset{⇀}{v} มีขนาด 1 และ 5 หน่วย ตามลำดับ จะได้ |\overset{⇀}{u}| = 1, |\overset{⇀}{v}| = 5$

$จากสูตร |\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{v}| = |\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}| sinθ จะได้ 3 = 1 (5) sinθ sinθ = \frac{3}{5} จากโจทย์ \overset{⇀}{u} และ \overset{⇀}{v} เป็นเวกเตอร์สามมิติซึ่งทำมุมป้านต่อกัน แสดงว่า cosθ = - \frac{4}{5} (มุมป้าน \cos ติดลบ)$

$จากโจทย์ (2 \overset{⇀}{u} + \overset{⇀}{v}) \cdot (\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}) = 2 {|\overset{⇀}{u}|}^{2} - 2 \overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v} + \overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v} - {|\overset{⇀}{v}|}^{2} = 2 {|\overset{⇀}{u}|}^{2} - \overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v} - {|\overset{⇀}{v}|}^{2} = 2 {|\overset{⇀}{u}|}^{2} - |\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}| cosθ - {|\overset{⇀}{v}|}^{2} = 2 {(1)}^{2} - (1) (5) (- \frac{4}{5}) - 5^{2} = 2 + 4 - 25 = - 19$