ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 25

กำหนดให้ $a_{n} = \frac{n}{1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1)}$ และ $b_{n} = \frac{n}{2 + 4 + 6 + \dots + 2 n}$ จะได้ว่าอนุกรม $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - b_{n})$ เป็นอนุกรมดังข้อใดต่อไปนี้

1
มีผลบวกเท่ากับ $- \frac{1}{2}$
2
มีผลบวกเท่ากับ $0$
3
มีผลบวกเท่ากับ $1$
4
มีผลบวกเท่ากับ $\frac{1}{2}$
5
ลู่ออก

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = \frac{n}{1 + 3 + 5 + . . . + (2 n - 1)} \to 1 หาค่า 1 + 3 + 5 + . . . + (2 n - 1) 1 + 3 + 5 + . . . + (2 n - 1) = \sum_{i = 1}^{n} (2 i - 1) = \sum_{i = 1}^{n} 2 i - {\sum 1}_{i = 1}^{n} = {2 \sum}_{i = 1}^{n} i - {\sum 1}_{i = 1}^{n}$

$= 2 [\frac{n (n + 1)}{2}] - n (1) = n (n + 1) - n = (n^{2} + n) - n = n^{2}; แทนใน 1$

$จาก 1 จะได้ a_{n} = \frac{n}{n^{2}} a_{n} = \frac{1}{n} จากโจทย์ b_{n} = \frac{n}{2 + 4 + 6 + . . . + 2 n} \to 2 หาค่า 2 + 4 + 6 + . . . + 2 n 2 + 4 + 6 + . . . + 2 n = 2 (1 + 2 + 3 + . . . + n)$
$= 2 \sum_{i = 1}^{n} i = 2 [\frac{n (n + 1)}{2}] = n (n + 1); แทนใน 2 จาก 2 จะได้ b_{n} = \frac{n}{n (n + 1)} b_{n} = \frac{1}{n + 1}$

$ดังนั้น อนุกรม \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - b_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + . . . + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = \frac{1}{1} - \frac{1}{n + 1}; แทน n = \infty \to \frac{1}{n + 1} = 0 = 1 - 0 = 1 อนุกรม \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - b_{n}) มีผลบวกเท่ากับ 1$