ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2562 (วิชาสามัญเก่า)

$$\begin{gathered} \mathrm{สูตร} \sum _{k=1}^{n}k! = 1!+2!+3!+...+k! \\ \mathrm{จะได้} \sum _{k=1}^{10}k! = 1!+2!+3!+...+10! \\ {\left(\sum _{k=1}^{10}k!\right)}^2 = {\left(1!+2!+3!+...+10!\right)}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{เศษที่เหลือจากการหาร} {\left(\sum _{k=1}^{10}k!\right)}^2 \mathrm{ด้วย} 5 \mathrm{เท่ากับ} ? \\ - \mathrm{พิจารณา} \\ 1! = 1 \mathrm{หาร} 5 \mathrm{เหลือเศษ} 1 \\ 2! = 2\times 1 = 2 \mathrm{หาร} 5 \mathrm{เหลือเศษ} 2 \\ 3! = 3\times 2\times 1 = 6 \mathrm{หาร} 5 \mathrm{เหลือเศษ} 1 \\ 4! = 4\times 3\times 2\times 1 = 24 \mathrm{หาร} 5 \mathrm{เหลือเศษ} 4 \\ - \mathrm{และตั้งแต่} 5!, 6!, 7! \mathrm{จะมี} 5 \mathrm{คูณอยู่เป็นตัวประกอบหนึ่งเสมอ} \\ \mathrm{จะได้} 5!, 6!, 7! \mathrm{หาร} 5 \mathrm{เหลือเศษ} 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{เศษที่เหลือจากการหาร} {\left(1!+2!+3!+...+10!\right)}^2 \\ = {\left(1+2+1+4+\underset{6 \mathrm{ตัว}}{\underbrace{0+...+0}}\right)}^2 \\ = 8^2 = 64 \\ = 4 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{เศษที่เหลือจากการหาร} {\left(\underset{k=1}{\overset{10}{\sum k!}}\right)}^2 \mathrm{ด้วย} 5 \mathrm{คือ} 4 \end{gathered}$$