ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

$จากโจทย์ 2 \log_{3} \sqrt{x + 1} + \log_{9} {(x - 1)}^{2} = \log_{3} 2 x จะได้ \log_{3} {(\sqrt{x + 1})}^{2} + \log_{3^{2}} {(x - 1)}^{2} = \log_{3} 2 x \log_{3} (x + 1) + \log_{3} \sqrt{{(x - 1)}^{2}} = \log_{3} 2 x \log_{3} (x + 1) + \log_{3} |x - 1| = \log_{3} 2 x \to 1 นิยาม \log_{a} x \to x > 0 จะได้ x + 1 > 0 และ |x - 1| > 0 และ 2 x > 0 x > - 1 \cap x \neq 1 \cap x > 0$

$แสดงว่า x = (0, 1) \cup (1, \infty) \to A จาก 1 \log_{3} (x + 1) + \log_{3} |x - 1| = \log_{3} 2 x \log_{3} [(x + 1) |x - 1|] = \log_{3} 2 x (x + 1) |x - 1| = 2 x \to 2$

$นิยาม |x| = \{\begin{cases} x เมื่อ x ⩾ 0 \\ - x เมื่อ x < 0 \end{cases} |x - 1| = \{\begin{cases} x - 1 เมื่อ x - 1 ⩾ 0 \to x \geq 1 \\ - (x - 1) เมื่อ x - 1 < 0 \to x < 1 \end{cases}$

$แบ่งเป็น 2 กรณี กรณี 1 x \geq 1 \to |x - 1| = x - 1 จาก 2 จะได้ (x + 1) (x - 1) = 2 x x^{2} - 1 = 2 x x^{2} - 2 x - 1 = 0 x = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 (1) (- 1)}}{2 (1)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2} x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2} แต่ 1 - \sqrt{2} ขัดเงื่อนไข x \geq 1 ดังนั้น x = 1 + \sqrt{2}$

$กรณี 2 x < 1 \to |x - 1| = - (x - 1) จาก 2 จะได้ (x + 1) (- (x - 1)) = 2 x - (x + 1) (x - 1) = 2 x - (x^{2} - 1) = 2 x x^{2} + 2 x - 1 = 0$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 (1) (- 1)}}{2 (1)} x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2}, \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2} x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2} แต่ - 1 - \sqrt{2} ขัดเงื่อนไข A ดังนั้น x = - 1 + \sqrt{2}$

$จากกรณี 1 และกรณี 2 จะได้ x = 1 + \sqrt{2}, - 1 + \sqrt{2} ดังนั้น ผลคูณของสมาชิก = (1 + \sqrt{2}) (- 1 + \sqrt{2}) = - 1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2 = 1$