ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

$$\begin{gathered} \mathrm{สูตรไฮเพอร์โบลา} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1 \\ c^2 = a^2+b^2\frac{}{} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} H \mathrm{เป็นไฮเพอร์โบลา} \\ \mathrm{มีสมการเป็น} x^2-3y^2-3=0 \\ \mathrm{จะได้} x^2-3y^2 = 3 \\ \frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1} = 1 \\ \mathrm{แสดงว่า} a^2=3 , b^2=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} c^2 = a^2+b^2 \\ c^2 = 3+1 \\ c = 2 \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{จุดโฟกัสคือ} \left(2,0\right) , \left(-2,0\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} F \mathrm{เป็นโฟกัสของไฮเพอร์โบลา} H \\ \mathrm{ที่อยู่ทางขวาของจุด} \left(0,0\right) \\ \mathrm{แสดงว่า} F\left(2,0\right) \\ \mathrm{จากโจทย์} E \mathrm{เป็นวงรีที่มีจุดยอดอยู่ที่} \left(0,0\right) \\ \mathrm{และโฟกัสอยู่ที่} F \\ - \mathrm{วาดรูปวงรี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แสดงว่า} a = c+2 \\ c = a-2 \to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ผลต่างของความยาวแกนเอก} \\ \mathrm{และความยาวแกนโทเท่ากับ} 2 \\ \mathrm{จะได้} 2a-2b = 2 \\ a-b = 1 \\ b = a-1 \to \boxed{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{สูตรวงรี} c^2 = a^2-b^2 \\ -\mathrm{จาก} \boxed{1},\boxed{2} \mathrm{จะได้} \\ {\left(a-2\right)}^2 = a^2-{\left(a-1\right)}^2 \\ a^2-4a+4 = a^2-\left(a^2-2a+1\right) \\ a^2-6a+5 = 0 \\ \left(a-1\right)\left(a-5\right) = 0 \\ a = 1,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -\mathrm{แต่} a=1 \mathrm{ทำให้} c \mathrm{ติดลบ} \\ \mathrm{แสดงว่า} a = 5 ; \mathrm{แทนใน} \boxed{1} \\ c = 5-2 \\ c = 3 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ความเยื้องศูนย์กลางของวงรี} = \frac{c}{a} \\ = \frac{3}{5} = 0.6 \end{gathered}$$