ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} f\left(x\right) \mathrm{เป็นพหุนามกำลังสอง} \\ \mathrm{มีจุดสูงสุดสัมพันธ์ที่จุด} \left(1,3\right) \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{เป็นกราฟพาราโบลาคว่ำ} \\ \mathrm{มีจุดยอด} \left(h,k\right)=\left(1,3\right) \\ \mathrm{สูตรพาราโบลา} y = a{\left(x-h\right)}^2+k \\ y = a{\left(x-1\right)}^2+3 \to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} y=f\left(x\right) \mathrm{ผ่านจุด} \left(2,2\right) \\ -\mathrm{แทนค่า} x=2, y=2 \mathrm{ใน} \boxed{1} \\ \mathrm{จะได้} 2 = a{\left(2-1\right)}^2+3 \\ a = -1 ; \mathrm{แทนใน} \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{จะได้} y = -1{\left(x-1\right)}^2+3 \\ y = -\left(x^2-2x+1\right)+3 \\ y = -x^2+2x+2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} {\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)dx = {\int }_{-1}^2\left(-x^2+2x+2\right)dx \\ = {\overline{)\frac{-x^3}{3}+2\frac{x^2}{2}+2x}}_{-1}^2 \\ = {\overline{)\frac{-x^3}{3}+x^2+2x}}_{-1}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} = \left[{\frac{-2}{3}}^3+2^2+2\left(2\right)\right]-\left[-{\left(\frac{-1}{3}\right)}^3+{\left(-1\right)}^2+2\left(-1\right)\right] \\ = \left(\frac{-8}{3}+4+4\right)-\left(\frac{1}{3}+1-2\right) \\ = \frac{-8}{3}+8-\frac{1}{3}+1 = 6 \end{gathered}$$