ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 26

ให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง ให้ $f : ℝ \to ℝ$ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์และสอดคล้องกับ

$f (x + h) - f (x) = 2 h^{3} + (6 x + 1) h^{2} + 2 x (3 x + 1) h$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ และ $h$

ถ้าค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ $f$ เท่ากับ $4$ แล้วค่าของ $f (2) + f (- \frac{1}{2})$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$28$
2
$32$
3
$34$
4
$36$
5
$40$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร f' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + (6 x + 1) h^{2} + 2 x (3 x + 1) h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h [2 h^{2} + (6 x + 1) h + 2 x (3 x + 1)]}{h}$

$= \lim_{h \to 0} 2 h^{2} + (6 x + 1) h + 2 x (3 x + 1) = 2 {(0)}^{2} + (6 x + 1) (0) + 2 x (3 x + 1) = 2 x (3 x + 1)$

$จะได้ f' (x) = 2 x (3 x + 1) = 6 x^{2} + 2 x \to 1 หาค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f \to f' (x) = 0 2 x (3 x + 1) = 0 x = \frac{- 1}{3}, 0$

$จะได้ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เมื่อ x = 0 จากโจทย์ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f เท่ากับ 4 จะได้ f (0) = 4$

$จาก 1 f' (x) = 6 x^{2} + 2 x \int f' (x) d x = \int (6 x^{2} + 2 x) d x f (x) = 6 \frac{x^{3}}{3} + 2 \frac{x^{2}}{2} + c f (x) = 2 x^{3} + x^{2} + c \to 2$

$- โดย f (0) = 4 จะได้ f (0) = 2 {(0)}^{3} + 0^{2} + c 4 = c; แทนใน 2$

$จาก 2 จะได้ f (x) = 2 x^{3} + x^{2} + 4 \to f (2) = 2 {(2)}^{3} + {(2)}^{2} + 4 = 24 \to f (\frac{- 1}{2}) = 2 {(\frac{- 1}{2})}^{3} + {(\frac{- 1}{2})}^{2} + 4 = 4 ดังนั้น f (2) + f (\frac{- 1}{2}) = 24 + 4 = 28$