ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2563

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \\ \cos x + \sin x = \frac{\sqrt{5}}{5} \\ \mathrm{กำลัง} 2 \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} \\ {\cos }^{2}x + 2\sin x\cos x + {\sin }^{2}x = \frac{5}{25} \\ 1 + \sin 2x = \frac{1}{5} \\ \sin 2x = -\frac{4}{5} \dots \overline{)1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \tan x-cotx = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} \\ = \frac{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{\cos x\sin x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} = \frac{-\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)}{{\displaystyle \frac{1}{2}\left(2\sin x\cos x\right)}} \\ = \frac{-2\cos 2x}{\sin 2x} \\ = -2cot2x \dots \overline{)2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \overline{)1} \mathrm{เราจะใช้สามเหลี่ยมหาส่วนที่} \\ \mathrm{เป็นตัวเลขของ} cot2x \mathrm{ใน} \overline{)2} \mathrm{ได้ดังรูป} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} cot2x = \frac{\mathrm{ชิด}}{\mathrm{ข้าม}} = \frac{3}{4} \dots \overline{)3} \\ \mathrm{เนื่องจาก} -\frac{\mathrm{\pi }}{2} < x < 0 \\ -\mathrm{\pi } < 2\mathrm{x} < 0 \\ 2\mathrm{x} \mathrm{อยู่ใน} {\mathrm{Q}}_1 \mathrm{หรือ} {\mathrm{Q}}_4 \mathrm{ก็ได้} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \cos x + \sin x = \frac{\sqrt{5}}{5} \mathrm{เป็นบวก} \\ \cos x + \sin x > 0 \\ \cos x > -\sin x \\ {\cos }^{2}x > \sin x \\ {\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x > 0 \\ \cos 2x > 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{สรุปได้ว่า} 2x \mathrm{อยู่ใน} Q_4 \\ \mathrm{ดังนั้น} cot2x \mathrm{เป็นลบ} \\ \mathrm{รวมกับ} \overline{)3} \mathrm{จะได้} \\ \cos 2x = -\frac{3}{4} \mathrm{แทนใน} \overline{)2} \\ \mathrm{จะได้} \left(-2\right)\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{2} \\ \mathrm{ตอบ} 5 \end{gathered}$$