ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 20

กำหนดให้ $f (x)$ เป็นพหุนามกำลังสองโดยที่ $f (0) = 1$ และ $f (x + 1) = f (x - 1) + x + 1$ สำหรับจำนวนจริง x ใดๆ ค่าของ $\int_{- 2}^{1} f (x) d x$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
3
2
2
3
$\frac{2}{3}$
4
$\frac{1}{3}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) เป็นพหุนามกำลังสอง แสดงว่า f (x) = {ax}^{2} + bx + c \to 1 จากโจทย์ f (0) = 1 a {(0)}^{2} + b (0) + c = 1 c = 1; แทนใน 1 จะได้ f (x) = {ax}^{2} + bx + 1 \to 2$

$จากโจทย์ f (x + 1) = f (x - 1) + x + 1 a {(x + 1)}^{2} + b (x + 1) + 1 = [a {(x - 1)}^{2} + b (x - 1) + 1] + x + 1 {ax}^{2} + 2 ax + a + bx + b + 1 = {ax}^{2} - 2 ax + a + bx - b + 1 + x + 1 4 ax + 2 b = x + 1$

$- เทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ 4 a = 1 และ 2 b = 1 a = \frac{1}{4} b = \frac{1}{2}; แทนใน 2 จะได้ f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + 1$

$ดังนั้น \int_{- 2}^{1} f (x) dx {= \frac{x^{3}}{12} + \frac{x^{2}}{4} + x}_{- 2}^{1}$

$= (\frac{1^{3}}{12} + \frac{1^{2}}{4} + 1) - (\frac{{(- 2)}^{3}}{12} + \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + (- 2)) = (\frac{1}{12} + \frac{1}{4} + 1) - (\frac{- 8}{12} + \frac{4}{4} - 2) = (\frac{1}{12} + \frac{8}{12}) + (\frac{1}{4} - \frac{4}{4}) + (1 + 2) = 3$