ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

ข้อ 20

กำหนดให้ C เป็นเส้นโค้ง $y = \frac{3 x^{4} - 2}{x^{3}}$ เมื่อ $x > 0$ และให้ L เป็นเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้ง C ที่จุด $(1, 1)$ ถ้าเส้นตรง L ตัดกับพาราโบลา $x (x - 1) = y - 1$ ที่จุด A และจุด B แล้วระยะห่างระหว่างจุด A และจุด B เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$4 \sqrt{82}$
2
$8 \sqrt{82}$
3
$4 \sqrt{41}$
4
$8 \sqrt{41}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ C เป็นเส้นโค้ง y = \frac{3 x^{4} - 2}{x^{3}} y = \frac{3 x^{4}}{x^{3}} - \frac{2}{x^{3}} = 3 x - 2 x^{- 3} จากโจทย์ L เป็นเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้ง C ที่จุด (1, 1)$

$แสดงว่า m_{L} = \frac{dy}{dx} ที่ x = 1 = \frac{d}{dx} (3 x - 2 x^{- 3}) = 3 + 6 x^{- 4}; แทน x = 1 = 3 + 6 {(1)}^{- 4} m_{L} = 3 + 6 = 9$

$สร้างสมการเส้นตรง L จะได้ y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - 1 = 9 (x - 1) y = 9 x - 8 \to 1$

$จากโจทย์ L ตัดกับพาราโบลา x (x - 1) = y - 1 ที่จุด A และ B หาจุดตัด เพื่อหาจุด A, B จะได้ x (x - 1) = y - 1; แทนค่า y จาก 1 x (x - 1) = (9 x - 8) - 1 x^{2} - x = 9 x - 9 x^{2} - 10 x + 9 = 0 (x - 9) (x - 1) = 0 x = 1, 9$
$เมื่อ x = 1 แทนค่าใน 1 จะได้ y = 1 เมื่อ x = 9 แทนค่าใน 1 จะได้ y = 73 แสดงว่า จุด A = (1, 1) และ B = (9, 73)$

$หาระยะห่างระหว่างจุด A และจุด B จากสูตร d = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} = \sqrt{{(9 - 1)}^{2} + {(73 - 1)}^{2}} = \sqrt{8^{2} + 72^{2}} = \sqrt{8^{2} + {(9 \times 8)}^{2}} = \sqrt{8^{2} + 9^{2} \cdot 8^{2}} = \sqrt{8^{2} (1 + 9^{2})} = \sqrt{8^{2}} \cdot \sqrt{(1 + 81)} = 8 \sqrt{82} ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุด A และจุด B เท่ากับ 8 \sqrt{82}$