ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \left|\frac{(\mathrm{z}+1)(1+\mathrm{i})}{\mathrm{z}(1+\mathrm{i})+5+\mathrm{i}}\right|=1 \\ \mathrm{จะได้} \left|\left(\mathrm{z}+1\right)\left(1+\mathrm{i}\right)\right|=\left(1\right)|\mathrm{z}\left(1+\mathrm{i}\right)+5+\mathrm{i}| \\ \mathrm{นำ} |1+\mathrm{i}| \mathrm{หารตลอด} \\ \frac{\left|\left(\mathrm{z}+1\right)\left(1+\mathrm{i}\right)\right|}{|1+\mathrm{i}|}=\frac{|\mathrm{z}\left(1+\mathrm{i}\right)+5+\mathrm{i}|}{|1+\mathrm{i}|} \\ \left|\frac{(\mathrm{z}+1)\cancel{(1+\mathrm{i})}}{\cancel{(1+\mathrm{i})}}\right|=\left|\frac{\mathrm{z}(1+\mathrm{i})+5+\mathrm{i}}{(1+\mathrm{i})}\right| \\ |\mathrm{z}+1|=\left|\mathrm{z}+\frac{5+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right|\to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{โดย} \frac{5+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\left(\frac{5+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)\left(\frac{1-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right) \\ =\frac{5-5\mathrm{i}+\mathrm{i}+1}{{\left(1\right)}^2-{\left(\mathrm{i}\right)}^2} \\ =\frac{6-4\mathrm{i}}{2} \\ =3-2\mathrm{i} ; \mathrm{แทนใน} \boxed{1} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{จะได้} \left|\mathrm{z}+1\right|=\left|\mathrm{z}+3-2\mathrm{i}\right| \\ \mathrm{กำหนดให้} \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \left|\mathrm{a}+\mathrm{bi}+1\right|=\left|\mathrm{a}+\mathrm{bi}+3-2\mathrm{i}\right| \\ \left|\left(\mathrm{a}+1\right)+\mathrm{bi}\right|=\left|\left(\mathrm{a}+3\right)+\left(\mathrm{b}-2\right)\mathrm{i}\right| \\ \sqrt{{\left(\mathrm{a}+1\right)}^2+{\mathrm{b}}^2}=\sqrt{{\left(\mathrm{a}+3\right)}^2+{\left(\mathrm{b}-2\right)}^2} \\ \mathrm{ยกกำลังสองทั้งสองข้าง} \\ \mathrm{จะได้} \left(\cancel{{\mathrm{a}}^2}+2\mathrm{a}+1\right)+\bcancel{{\mathrm{b}}^2}=\left(\cancel{{\mathrm{a}}^2}+6\mathrm{a}+9\right)+\left(\bcancel{{\mathrm{b}}^2}-4\mathrm{b}+4\right) \\ 2\mathrm{a}+1=6\mathrm{a}-4\mathrm{b}+13 \\ 4\mathrm{b}=4\mathrm{a}+12 \\ \mathrm{a}=\mathrm{b}-3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \left|\mathrm{z}\right|=\sqrt{65} \\ \mathrm{จะได้} \left|\mathrm{a}+\mathrm{bi}\right|=\sqrt{65} \\ \sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}=\sqrt{65} \\ {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2=65 ; \mathrm{แทน} \mathrm{a}=\mathrm{b}-3 \\ {\left(\mathrm{b}-3\right)}^2+{\mathrm{b}}^2=\sqrt{65} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\mathrm{b}}^2-6\mathrm{b}+9+{\mathrm{b}}^2= 65 \\ 2{\mathrm{b}}^2-6\mathrm{b}-56=0 \\ {\mathrm{b}}^2-3\mathrm{b}-28=0 \\ (\mathrm{b}-7)(\mathrm{b}+4)=0 \\ \mathrm{b}=7,-4 ; \mathrm{โจทย์บอก} \mathrm{z} \mathrm{อยู่ใน} {\mathrm{Q}}_1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ถ้า} \mathrm{z} \mathrm{อยู่ในควอดรันต์ที่หนึ่ง} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{b}=7 \\ \mathrm{a}=\mathrm{b}-3=7-3=4 \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{z}=4+7\mathrm{i} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ผลบวกของส่วนจริง} \mathrm{และส่วนจินตภาพของ} \mathrm{z} \\ =\mathrm{a}+\mathrm{b} \\ =4+7 \\ =11 \end{gathered}$$