ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

ข้อ 37

สำหรับ $n = 2, 3, 4, . . .$ ให้ $a_{n} = 1 + 2 + 3 + . . . + n$

ค่าของ $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{2} a_{3} a_{4} . . . a_{n}}{(a_{2} - 1) (a_{3} - 1) (a_{4} - 1) . . . (a_{n} - 1)}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ค่าของ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{2} a_{3} a_{4} . . . a_{n}}{(a_{2} - 1) (a_{3} - 1) (a_{4} - 1) . . . (a_{n} - 1)}$

$โดย \frac{a_{2} a_{3} a_{4} . . . a_{n}}{(a_{2} - 1) (a_{3} - 1) (a_{4} - 1) . . . (a_{n} - 1)} = (\frac{a_{2}}{a_{2} - 1}) (\frac{a_{3}}{a_{3} - 1}) (\frac{a_{4}}{a_{4} - 1}) . . . (\frac{a_{n}}{a_{n} - 1})$

$พิจารณา \frac{a_{n}}{a_{n} - 1} จะได้ \frac{a_{n}}{a_{n} - 1} = \frac{[\frac{n}{2} (n + 1)]}{[\frac{n}{2} (n + 1) - 1]} = \frac{n (n + 1)}{n (n + 1) - 2} = \frac{n (n + 1)}{n^{2} + n - 2} = \frac{n (n + 1)}{(n + 2) (n - 1)}$

$แสดงว่า \frac{a_{2} a_{3} a_{4} . . . a_{n}}{(a_{2} - 1) (a_{3} - 1) (a_{4} - 1) . . . (a_{n} - 1)} = (\frac{a_{2}}{a_{2} - 1}) (\frac{a_{3}}{a_{3} - 1}) (\frac{a_{4}}{a_{4} - 1}) . . . (\frac{a_{n}}{a_{n} - 1}) = \frac{(2) (3)}{(4) (1)} \cdot \frac{(3) (4)}{(5) (2)} \cdot \frac{(4) (5)}{(6) (3)} . . . \frac{n (n + 1)}{(n + 2) (n - 1)} = 3 \cdot (\frac{n}{n + 2})$

$ดังนั้น \lim_{n \to \infty} \frac{a_{2} a_{3} a_{4} . . . a_{n}}{(a_{2} - 1) (a_{3} - 1) (a_{4} - 1) . . . (a_{n} - 1)} = \lim_{n \to \infty} 3 \cdot (\frac{n}{n + 2}) = \lim_{n \to \infty} \frac{n (3)}{n (1 + \frac{2}{n})}$