ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 35

ให้ A แทนเซตคำตอบของจำนวนจริง $x \in [0, 2 π)$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

$2^{(1 + 3 sinx)} - 5 \cdot 2^{2 sinx} + 2^{(2 + sinx)} = 1$

จำนวนสมาชิกของเซต A เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ 2^{(1 + 3 \sin x)} - 5 \cdot 2^{2 \sin x} + 2^{(2 + \sin x)} = 1 2^{1} \cdot 2^{3 \sin x} - 5 \cdot 2^{2 \sin x} + 2^{2} \cdot 2^{\sin x} = 1 2^{1} \cdot {(2^{\sin x})}^{3} - 5 \cdot {(2^{\sin x})}^{2} + 4 \cdot 2^{\sin x} = 1 \to 1 กำหนดให้ 2^{\sin x} = A \to 2 {(2^{\sin x})}^{2} = A^{2} {(2^{\sin x})}^{3} = A^{3}$

$แทน A ใน 1 2 A^{3} - 5 A^{2} + 4 A - 1 = 0 แยกตัวประกอบ โดยหารสังเคราะห์ \begin{matrix} 1 \end{matrix} \frac{\begin{matrix} 2 \end{matrix} \begin{matrix} - 5 \\ 2 \end{matrix} \begin{matrix} 4 \\ - 3 \end{matrix} \begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}}{2 \begin{matrix} - 3 & 1 & 0 \end{matrix}}$

$(A - 1) (2 A^{2} - 3 A + 1) = 0 (A - 1) (2 A - 1) (A - 1) = 0 {(A - 1)}^{2} (2 A - 1) = 0$
$จะได้ {(A - 1)}^{2} = 0 หรือ 2 A - 1 = 0 A = 1 A = \frac{1}{2} แทน A ใน 2 2^{\sin x} = 1 2^{\sin x} = \frac{1}{2} 2^{\sin x} = 2^{0} 2^{\sin x} = 2^{- 1} จะได้ \sin x = 0 \sin x = - 1 x = 0, 180 ° x = 270 ° แสดงว่า A มีสมาชิก 3 ตัว หรือ n (A) = 3 ดังนั้น จำนวนสมาชิกของเซต A เท่ากับ 3$