ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 37

กำหนดให้ an=k=1nk2k เมื่อ n = 1, 2, 3,  

ค่าของ  limn2n(6-3an)n2+5n+1เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

จากโจทย์        an=k=1nk2k  เมื่อ n = 1, 2, 3,...                        an=121+222+323+....+n2nจะเห็นว่า an เป็นอนุกรมผสม (เศษเป็นอนุกรมเลขคณิต และส่วนเป็นอนุกรมเรขาคณิต) , r=12
จาก              an=121+222+323+....+n-12n-1+n2n 1r x an ;  12·an=122+223+324+....+n-12n+n2n+12

นำ 1-2     an-12·an=12+122+123+124+....+12n-n2n+1จะได้ 12·an=12+122+123+124+....+12n-n2n+1 3

จะเห็นว่า 12+122+123+124+...+12n เป็นอนุกรมเรขาคณิต โดย r=12 , a1=12สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิต Sn=a11-rn1-r  ; โดย r<1

แทนค่า r=12 , a1=12                =121-(12)n1-12                                                        =1-12nดังนั้น 12+122+123+124+...+12n=1-12nจาก 3 12·an=12+122+123+124+...+12n-n2n+1แทนค่า Sn ;

จะได้   12·an=1-12n-n2n+1ดังนั้น        an=2-22n-n2nแสดงว่า    2n6-3an=2n6-32-22n-n2n                                     =2n6-6+62n+3n2n                                     =2n62n+3n2n                                     =6+3n

ดังนั้น    limn2n6-3ann2+5n+1=limx6+3nn2+5n+1                                               =limx3nn2                                               =3nn                                               =3

ปิด
ทดลองเรียน