ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 40

ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง โดยที่ $f' (x) = \frac{2 x^{4} - x}{x^{3}}$ เมื่อ $x \neq 0$ $g (x) = (1 + x^{2}) f (x)$ และ $g (1) = 2$ ค่าของ $\int_{- 1}^{2} x^{3} g'' (x) d x$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f' (x) = \frac{2 x^{4} - x}{x^{3}} = \frac{2 x^{4}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} = 2 x - x^{2} จาก f (x) = \int f' (x) dx = \int (2 x - x^{- 2}) dx = \frac{2 x^{2}}{2} - \frac{x^{- 1}}{(- 1)} + C = x^{2} + \frac{1}{x} + C \to 1$

$จากโจทย์ g (x) = (1 + x^{2}) f (x) \to 2 โดย g (1) = 2 \to แทน x = 1 ใน 2 จะได้ g (1) = (1 + 1^{2}) f (1) 2 = 2 f (1) f (1) = 1$

$จาก 1 แทน x = 1 จะได้ f (1) = 1^{2} - \frac{1}{1} + C 1 = 2 + C C = - 1 ดังนั้น f (x) = x^{2} + \frac{1}{x} - 1$

$จาก 2 จะได้ g (x) = (1 + x^{2}) \cdot (x^{2} + \frac{1}{x} - 1) g' (x) = (1 + x^{2}) \cdot \frac{d}{dx} (x^{2} + \frac{1}{x} - 1) + (x^{2} + \frac{1}{x} - 1) \cdot \frac{d}{dx} (1 + x^{2}) = (1 + x^{2}) \cdot (2 x - x^{- 2}) + (x^{2} + \frac{1}{x} - 1) \cdot (2 x) = (2 x - \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{2} - 1) + (2 x^{3} + 2 - 2 x) = 4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1 g'' (x) = 12 x^{2} + \frac{2}{x^{3}}$

$ดังนั้น \int_{- 1}^{2} x^{3} g'' (x) d x = \int_{- 1}^{2} x^{3} (12 x^{2} + \frac{2}{x^{3}}) d x = \int_{- 1}^{2} (12 x^{5} + 2) d x = {(2 x^{6} + 2 x)}_{1}^{2} = [128 + 4] - [2 - 2] = 132$