ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{วงกลม} C} \\ \mathrm{จากโจทย์} C \mathrm{เป็นวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด} A \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{จุด} A\left(h,k\right) \mathrm{เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม} \\ \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{เส้นตรง} 3x+4y=35 \mathrm{สัมผัสวกลมที่จุด} \left(5,5\right) \\ \mathrm{นำข้อมูลมาวาดรูป} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{เส้นที่ผ่านจุด} \left(5,5\right) \mathrm{และจุด} A \\ \mathrm{ตั้งฉากกับเส้นตรง} 3x+4y=35 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้ง} 2 \mathrm{เท่ากับ} -1 \\ \mathrm{จะได้} m_1·m_2=-1 \to \boxed{*} \\ \mathrm{จากสูตร} \mathrm{ความชัน} \left(m\right) = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ - \mathrm{เส้นตรงที่ผ่านจุด} A\left(h,k\right) \mathrm{และจุด} \left(5,5\right) \\ \mathrm{ความชัน} \left(m_1\right) = \frac{5-k}{5-h} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} - \mathrm{เส้นตรง} 3x+4y=35 \\ \mathrm{ความชัน} \left(m_2\right) =-\frac{A}{B} = -\frac{3}{4} \\ \mathrm{จาก} \boxed{*} m_1·m_2 = -1 \\ \left(\frac{5-k}{5-h}\right)\left(-\frac{3}{4}\right) = -1 \\ 4h-3k-5 = 0 \to \boxed{1} \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathbf{พิจารณา}\mathbf{ }\mathbf{ไฮเปอร์โบลา} \\ \mathrm{จากรูปเมื่อ} \mathrm{จุด} A\left(h,k\right) \mathrm{อยู่บนเส้นตรง} 3x-4y=2 \\ \mathrm{ซึ่งเป็นสมการเส้นกำกับเส้นหนึ่ง} \\ \mathrm{จะไดว่า} 3h-4k-2 = 0 \to \boxed{2} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1},\boxed{2} \mathrm{แก้} 2 \mathrm{สมการ} 2 \mathrm{ตัวแปร} \\ \boxed{1}x3 ; 12h-9k-15 =0 \to \boxed{3} \\ \boxed{2}x4 ; 12h-16k -8 =0 \to \boxed{4} \\ \boxed{3}- \boxed{4} 7k-7=0 \\ k = 1 \\ \mathrm{แทนค่า} k \mathrm{ใน} \boxed{1} \mathrm{จะได้} \\ 4h-3\left(1\right)-5 = 0 \\ 4h=8 \\ h =2 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{จุด} A\left(h,k\right) = \left(2,1\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{ไฮเพอร์โบลา}} \\ \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีแกนตามขวางขนานกับแกน} y \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด} A \\ \mathrm{จะได้} \left(h,k\right) = \left(2,1\right) \\ \mathrm{จากสูตร} \mathrm{ไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางขนานกับแกน} y \\ \frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2} = 1 \to \boxed{**} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางกับโฟกัสจุดหนึ่ง} \\ \mathrm{เป็นสองเท่าของรัศมีวงกลม} C \\ \mathrm{จะได้} c=2r \\ \mathrm{โดย} r = \mathrm{ระยะระหว่างจุด} A\left(2,1\right) \mathrm{และ} \left(5,5\right) \\ r = \sqrt{{\left(2-5\right)}^2+{\left(1-5\right)}^2} = \sqrt{9+16} = 5 \\ \mathrm{แสดงว่า} c=2\left(5\right)=10 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{เส้นตรง} 3x-4y=2 \mathrm{เป็นเส้นกำกับเส้นหนึ่ง} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{ความชัน} = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \\ a = \frac{3}{4}b \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} c^2 = a^2+b^2 \\ {10}^2 = {\left(\frac{3}{4}b\right)}^2+b^2 \\ 100 = \frac{9}{16}{b}^2+\frac{16}{16}{b}^2 \\ b^2 = \frac{16\times 100}{25} = 64 \\ b = 8 ; \mathrm{โดย} a = \frac{3}{4}b \\ a = \frac{3}{4}\left(8\right) = 6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{**} \frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2} = 1 \\ \mathrm{โดย} \left(h,k\right)=\left(2,1\right) , a=6 , b=8 \\ \mathrm{จะได้} \frac{{\left(y-1\right)}^2}{6^2}-\frac{{\left(x-2\right)}^2}{8^2} = 1 \\ \frac{\left(y^2-2y+1\right)}{36}-\frac{\left(x^2-4x+4\right)}{64} = 1 \\ 9x^2-16y^2-36x+32y+596 = 0 \\ \mathrm{สมการไฮเพอร์โบลา} \mathrm{คือ} 9x^2-16y^2-36x+32y+596=0 \end{gathered}$$