ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 35

กำหนดให้ $\{a_{n}\}$ และ $\{b_{n}\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $3 a_{n + 1} = a_{n}$ และ $2^{n} b_{n} = a_{n}$ สำหรับ $n = 1, 2, 3, . . .$ ถ้า $a_{5} = 2$ แล้ว อนุกรม $b_{1} + b_{2} + b_{3} + . . .$ มีผลบวกเท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ 3 a_{n + 1} = a_{n} จะได้ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{1}{3} แสดงว่า a_{n} เป็นลำดับเรขาคณิต อัตราส่วนร่วม r = \frac{1}{3}$

$จากสูตร a_{n} = a_{5} \cdot r^{n - 5}; โดย a_{5} = 2 = 2 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n - 5} = 2 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n} \cdot {(\frac{1}{3})}^{- 5} = 2 \cdot 3^{5} \cdot \frac{1}{3^{n}} = \frac{486}{3^{n}}$

$จากโจทย์ 2^{n} b_{n} = a_{n} จะได้ b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}; แทน a_{n} = \frac{486}{3^{n}} = \frac{486}{3^{n}} \cdot \frac{1}{2^{n}} = \frac{486}{6^{n}}$

$ดังนั้น b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{486}{6^{n}}) = 486 (\frac{1}{6} + \frac{1}{6^{2}} + \frac{1}{6^{3}} + \dots) = 486 (\frac{\frac{1}{6}}{1 - \frac{1}{6}}) = 486 (\frac{1}{5}) = \frac{972}{10} = 97.2 ผลบวกอนุกรม b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots คือ 97.2$