ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 10

ให้ $A$ เป็นจุดตัดของเส้นตรง $x - 3 y + 1 = 0$ และ $2 x + 5 y - 9 = 0$ ถ้าเส้นตรง $L$ มีความชันเท่ากับ $m$

เมื่อ $m < 0$ มีระยะห่างจากจุดกำเนิด $(0, 0)$ เท่ากับ $k$ หน่วย โดยที่ $k^{2} + 2 m = 1$ และผ่านจุด $A$ แล้วสมการ

ของเส้นตรง $L$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$2 x + y - 5 = 0$
2
$3 x + y - 7 = 0$
3
$x + 2 y - 4 = 0$
4
$x + 3 y - 5 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ A เป็นจุดตัดของเส้นตรง x - 3 y + 1 = 0 และ 2 x + 5 y - 9 = 0 - แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ x = 2, y = 1 แสดงว่า A (2, 1)$

$จากโจทย์ เส้นตรง L มีความชันเท่ากับ m เมื่อ m < 0 จะได้ เส้นตรง L; y = mx + c mx - y + c = 0 \to 1 จากสูตร ระยะจากจุด (x_{0}, y_{0}) ถึงเส้นตรง Ax + By + C = 0 d = \frac{|{Ax}_{0} + {By}_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

$จากโจทย์ มีระยะห่างจากจุดกำเนิด (0, 0) เท่ากับ k หน่วย จะได้ k = \frac{|m (0) - 1 (0) + c|}{\sqrt{m^{2} + {(- 1)}^{2}}} k = \frac{|c|}{\sqrt{m^{2} + 1}} จากโจทย์ k^{2} + 2 m = 1 จะได้ {(\frac{|c|}{\sqrt{m^{2} + 1}})}^{2} + 2 m = 1 \frac{c^{2}}{m^{2} + 1} + 2 m = 1 \to 2$

$จากโจทย์ เส้นตรง L ผ่านจุด A (2, 1) แทนค่า x = 2, y = 1 ใน 1 จะได้ 2 m - 1 + c = 0 c = 1 - 2 m; แทนใน 2$
$จาก 2 จะได้ \frac{{(1 - 2 m)}^{2}}{m^{2} + 1} + 2 m = 1 {(1 - 2 m)}^{2} = (1 - 2 m) (m^{2} + 1) 1 - 4 m + 4 m^{2} = m^{2} + 1 - 2 m^{3} - 2 m 2 m^{3} + 3 m^{2} - 2 m = 0 m (2 m^{3} + 3 m - 2) = 0 m (2 m - 1) (m + 2) = 0 m = - 2, 0, \frac{1}{2}$

$จากโจทย์ m < 0 จะได้ m = - 2 โดย c = 1 - 2 m c = 1 - 2 (- 2) = 5 แทนค่า c = 5, m = - 2 ใน 1 จะได้ (- 2) x - y + 5 = 0 2 x + y + 5 = 0 ดังนั้น สมการของเส้นตรง L คือ 2 x + y + 5 = 0$