ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{ตัวเลข} 1,2,3,...,9 \mathrm{นำมาสร้างจำนวนห้าหลัก} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{n}\left(\mathrm{s}\right)=9\times 9\times 9\times 9\times 9=9^5 \mathrm{แบบ} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{ความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนห้าหลักโดยที่} \\ \mathrm{ในแต่ละหลักเป็นตัวเลขที่แตกต่างกันเพียง} 3 \mathrm{จำนวน} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{n}\left(\mathrm{E}\right)= \mathrm{จำนวนห้าหลักโดยที่แต่ละหลัก} \\ \mathrm{เป็นเลขที่แตกต่างกันเพียง} 3 \mathrm{จำนวน} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{มี} 2 \mathrm{กรณี}} \\ \mathbf{กรณี}\mathbf{ }\left(\mathbf{1}\right) \mathrm{n}\left({\mathrm{E}}_1\right) \mathrm{ซ้ำ} 3 \mathrm{ตัว}+\mathrm{ต่าง} 2 \mathrm{ตัว} \left[\mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{B} \mathrm{C}\right] \\ \mathrm{จะได้} \\ -\mathrm{เลือกตัวซ้ำ} 3 \mathrm{ตัว} \mathrm{จาก} 1-9 ={\mathrm{C}}_{9,1} \\ -\mathrm{เลือกตัวต่าง} 2 \mathrm{ตัว} \mathrm{จากเลข} 8 \mathrm{ตัวที่เหลือ} ={\mathrm{C}}_{8,2} \\ -\mathrm{ตัวเลข} 5 \mathrm{ตัว} \mathrm{จัดเรียงได้} =\frac{5!}{3!1!1!} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{n}\left({\mathrm{E}}_1\right)={\mathrm{C}}_{9,1}·{\mathrm{C}}_{8,2}·\frac{5!}{3!1!1!} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{กรณี}\mathbf{ }\left(\mathbf{2}\right) \mathrm{n}\left({\mathrm{E}}_2\right) \mathrm{ซ้ำ} 2 \mathrm{คู่}+\mathrm{ต่าง} 1 \mathrm{ตัว} \left[\mathrm{A} \mathrm{A} \mathrm{B} \mathrm{B} \mathrm{C}\right] \\ \mathrm{จะได้} \\ -\mathrm{เลือกตัวซ้ำ} 2 \mathrm{คู่} \mathrm{จาก} 1-9 ={\mathrm{C}}_{9,2} \\ -\mathrm{เลือกตัวต่าง} 1 \mathrm{ตัว} \mathrm{จากเลข} 7 \mathrm{ตัวที่เหลือ} ={\mathrm{C}}_{7,1} \\ -\mathrm{ตัวเลข} 5 \mathrm{ตัว} \mathrm{จัดเรียงได้} =\frac{5!}{2!2!1!} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{n}\left({\mathrm{E}}_2\right)={\mathrm{C}}_{9,2}·{\mathrm{C}}_{7,1}·\frac{5!}{2!2!1!} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{E}\right)}{\mathrm{n}\left(\mathrm{S}\right)} \\ =\frac{\mathrm{n}\left({\mathrm{E}}_1\right)+\mathrm{n}\left({\mathrm{E}}_2\right)}{\mathrm{n}\left(\mathrm{S}\right)} \end{gathered}$$​
$$\begin{gathered} =\frac{{\mathrm{C}}_{9,1}·{\mathrm{C}}_{8,2}·{\displaystyle \frac{5!}{3!1!1!}}+{\mathrm{C}}_{9,2}·{\mathrm{C}}_{7,1}·{\displaystyle \frac{5!}{2!2!1!}}}{\mathrm{n}\left(S\right)} \\ =\frac{\left({\displaystyle \frac{9!}{8!1!}}\right)\left({\displaystyle \frac{8!}{2!6!}}\right){\displaystyle \left(\frac{5!}{3!}\right)}+\left({\displaystyle \frac{9!}{7!2!}}\right)\left({\displaystyle \frac{7!}{6!}}\right)\left({\displaystyle \frac{5!}{2!2!}}\right)}{9^5} \\ =\frac{\left({\displaystyle 9\times 4\times 7\times 5\times 4}\right)+\left({\displaystyle 9\times 8\times 7\times 5\times 3}\right)}{9^5} \\ =\frac{1400}{6561} \end{gathered}$$