ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 36

ถ้า $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{1000}$ เป็นลำดับของจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ $\frac{a_{1}}{a_{1} + 2} = \frac{a_{2}}{a_{2} + 3} = \frac{a_{3}}{a_{3} + 4} = . . . = \frac{a_{1000}}{a_{1000} + 1001}$

และ $a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{1000} = 250000$ แล้วค่าของ $a_{1} + a_{1000}$ เท่ากับข้อใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \frac{a_{1}}{a_{1} + 2} = \frac{a_{2}}{a_{2} + 3} = \frac{a_{3}}{a_{3} + 4} = . . . = \frac{a_{1000}}{a_{1000} + 1001} พิจารณา \frac{a_{1}}{a_{1} + 2} = \frac{a_{2}}{a_{2} + 3} a_{1} a_{2} + 3 a_{1} = a_{1} a_{2} + 2 a_{2} 3 a_{1} = 2 a_{2} a_{2} = \frac{3}{2} a_{1} \to 1 a_{2} = 1.5 a_{1}$

$พิจารณา \frac{a_{1}}{a_{1} + 2} = \frac{a_{3}}{a_{3} + 4} a_{1} a_{3} + 4 a_{1} = a_{1} a_{3} + 2 a_{3} 4 a_{1} = 2 a_{3} a_{3} = \frac{4}{2} a_{1} \to 2 a_{3} = 2 a_{1} จาก 1, 2 จะได้ a_{n} = \frac{n + 1}{2} a_{1} แทน n = 1000 a_{1000} = \frac{1001}{2} a_{1}$

$จากโจทย์ a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{1000} เป็นลำดับของจำนวนจริง จะได้ a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{1000} = a_{1}, 1.5 a_{1}, 2 a_{1}, . . ., \frac{1001}{2} a_{1} แสดงว่า a_{n} เป็นลำดับเลขคณิต มีค่า d = 0.5 a_{1}$

$จากโจทย์ a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{1000} = 250000 \to 3 จากสูตร ลำดับเลขคณิต S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) S_{1000} = \frac{1000}{2} (a_{1} + a_{1000}) S_{1000} = 500 (a_{1} + a_{1000}); แทนใน 3 จาก 3 จะได้ 500 (a_{1} + a_{1000}) = 250000 a_{1} + a_{1000} = 500 ดังนั้น ค่าของ a_{1} + a_{1000} เท่ากับ 500$