ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 41

กำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}, . . .$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริง ให้ $u_{k} = \sum_{n = k}^{2 k} a_{n}$ สำหรับ $k = 1, 2, 3, . . .$ ถ้า $u_{5} = 147$ และ $u_{8} = 342$ แล้วค่าของ $\sum_{n = 1}^{60} a_{n}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรลำดับเลขคณิต a_{n} = a_{1} + (n - 1) d a_{n} = a_{x} + (n - x) d$

$จากโจทย์ u_{k} = \sum_{n = k}^{2 k} a_{n} สำหรับ k = 1, 2, 3, . . . - แทน k = 5 จะได้ u_{5} = \sum_{n = 5}^{10} a_{n} = a_{5} + a_{6} + a_{7} + . . . + a_{10}; จากโจทย์ u_{5} = 147 147 = a_{5} + a_{6} + a_{7} + . . . + a_{10} \to 1 - แทน k = 8 จะได้ u_{8} = \sum_{n = 8}^{16} a_{n} = a_{8} + a_{9} + a_{10} + . . . + a_{16}; จากโจทย์ u_{8} = 342 342 = a_{8} + a_{9} + a_{10} + . . . + a_{16} \to 2$

$เปลี่ยนค่า a_{8}, a_{9}, a_{10}, . . ., a_{16} ในรูปของ a_{12} จาก 2 จะได้ a_{8} + a_{9} + a_{10} + . . . + a_{16} = 342; พจน์กลาง = a_{12} (a_{12} - 4 d) + (a_{12} - 3 d) + . . . + a_{12} + . . . + (a_{12} + 3 d) + (a_{12} + 4 d) = 342 \underset{9 ตัว}{\underset{⏟}{a_{12} + a_{12} + . . . + a_{12} + . . . + a_{12} + a_{12}}} = 342 9 a_{12} = 342 a_{12} = 38$

$เปลี่ยนค่า a_{5}, a_{6}, a_{7}, . . ., a_{10} ในรูปของ a_{12} จาก 1 จะได้ a_{5} + a_{6} + a_{7} + . . . + a_{10} = 147$
$(a_{12} - 7 d) + (a_{12} - 6 d) + (a_{12} - 5 d) + (a_{12} - 4 d) + (a_{12} - 3 d) + (a_{12} - 2 d) = 147$
$6 a_{12} - (7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2) d = 147 6 (38) - 27 d = 147 d = 3 จากสูตร a_{n} = a_{1} + (n - 1) d แทน n = 12 จะได้ a_{12} = a_{1} + 11 d 38 = a_{1} + 11 (3) a_{1} = 5$

$ดังนั้น \sum_{n = 1}^{60} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{60} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}); a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = \frac{n}{2} [a_{1} + a_{1} + (n - 1) d] = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]; a_{1} = 5, n = 60, d = 3 = \frac{60}{2} [2 (5) + 59 (3)] = 5, 610$