ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2560

ข้อ 10

ให้ $C$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม $x^{2} + y^{2} - 2 k y = 0$ เมื่อ $k > 0$ ให้ $T$ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด $A (- 5, 4)$ และสัมผัสวงกลมที่จุด $B$ โดยระยะทางระหว่างจุด $A$ และจุด $B$ เท่ากับ $1$ หน่วย ถ้า $H$ เป็นไฮเพอร์โบลามีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $C$ แกนสังยุคยาว $2 k$ หน่วย และขนานกับแกน $x$ และเส้นกำกับเส้นหนึ่งผ่านจุด $A$ และจุด $C$ แล้วสมการของไฮเพอร์โบลา $H$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$x^{2} - 25 y^{2} + 250 y - 600 = 0$
2
$x^{2} - 25 y^{2} - 250 y + 624 = 0$
3
$x^{2} - 25 y^{2} - 250 y + 650 = 0$
4
$25 x^{2} - y^{2} + 10 y + 50 = 0$
5
$25 x^{2} - y^{2} + 10 y - 50 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ C เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม x^{2} + y^{2} - 2 k y = 0 เมื่อ k > 0 จะได้ x^{2} + (y^{2} - 2 k y + k^{2}) = k^{2} x^{2} + {(y - k)}^{2} = k^{2} ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลม = C (0, k), รัศมี (r) = k - วาดรูปวงกลม$

$จากโจทย์ T เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด A (- 5, 4) และ สัมผัสวงกลม ที่จุด B - วาดรูปเส้นตรง L และวงกลม$

$จากรูป จะได้ว่า |\bar{B C}| = k จากโจทย์ ระยะทางระหว่างจุด A และจุด B เท่ากับ 1 หน่วย แสดงว่า |\bar{A B}| = 1 จากรูป จะได้ว่า A B C เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก$
$แสดงว่า {|\bar{A C}|}^{2} = {|\bar{A B}|}^{2} + {|\bar{B C}|}^{2} {(\sqrt{{[0 - (- 5)]}^{2} + {(k - 4)}^{2}})}^{2} = 1^{2} + k^{2} 25 + (k^{2} - 8 k + 16) = 1 + k^{2} 41 - 8 k = 1 k = 5 ดังนั้น C (0, k) = C (0, 5)$

$จากโจทย์ H เป็นไฮเพอร์โบลา มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C แกนสังยุคยาว 2 k หน่วย และขนานกับแกน X แสดงว่า - เป็นไฮเพอร์โบลาแกนดิ่ง เนื่องจากแกนสังยุคขนานแกน X$
$- (h, k) = (0, 5) - แกนสังยุคยาว 2 k จะได้ 2 b = 2 k b = k \to b = 5 จากโจทย์ เส้นกำกับเส้นหนึ่ง ผ่านจุด A และจุด C วาดกราฟ ไฮเพอร์โบลา H$

$สูตรสมการเส้นกำกับ (L) y - k = \pm \frac{a}{b} (x - h) (ไฮเพอร์โบลาแกนดิ่ง) เส้นตรงที่ลากผ่านจุด A ไปยังจุด C จะมีความชันเป็นบวก จะได้ ความชัน (L) = \frac{a}{b} = \frac{∆ y}{∆ x} \frac{a}{5} = \frac{5 - 4}{0 - (- 5)} \frac{a}{5} = \frac{1}{5} a = 1$

$สูตรสมการไฮเพอร์โบลาแกนดิ่ง จะได้ \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1 \frac{{(y - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(x - 0)}^{2}}{5^{2}} = 1 y^{2} - 10 y + 25 - \frac{x^{2}}{25} = 1 x^{2} - 25 y^{2} + 250 y - 600 = 0 สมการของไฮเพอร์โบลา H คือ x^{2} - 25 y^{2} + 250 y - 600 = 0$