ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2565 (หลักสูตรใหม่)

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์ที่บอกว่า} f\left(x\right) = \mathrm{จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับ} x \\ \mathrm{ตัวอย่า่งเช่น} f\left(2.5\right) = 3 \\ f\left(-5\right) = -5 \\ f\left(-4.9\right) = -4 \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \mathrm{พิจารณาข้อ} \left(ก\right) \underset{x\to c}{\lim }f\left(x\right) \mathrm{มีค่าเมื่อ} \\ \underset{x\to c^{-}}{\lim }f\left(x\right) = \underset{x\to c^{+}}{\lim }f\left(x\right) = \underset{x\to c}{\lim }f\left(x\right) \\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) = \mathrm{จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับ} 0.9999\dots = 1 \\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) = \mathrm{จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับ} 1.000000\dots 1 = 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้ว่า} \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) \ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) \mathrm{จึงสรุปว่า} \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right) \mathrm{ไม่มีค่า} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(ก\right) \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{พิจารณาข้อ} \left(ข\right) f \mathrm{เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง} (a, b] \mathrm{ก็ต่อเมื่อ} \\ 1) f \mathrm{เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทุกจุดในช่วง} \left(a, b\right) \\ 2) \underset{x\to b^{-}}{\lim }f\left(x\right) = f\left(b\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} x\in (n, n+1] \\ 1) c\in \left(n, n+1\right) \mathrm{จะได้ว่า} \\ f\left(c\right) = n+1 = \underset{x\to c}{\lim }f\left(x\right) \\ \mathrm{ดังนั้น} f \mathrm{ต่อเนื่องทุกจุดในช่วง} \left(n, n+1\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2) \underset{x\to {\left(n+1\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right) = n+1 = f\left(n+1\right) \\ \mathrm{จาก} 1) \mathrm{และ} 2) \mathrm{จึงสรุปได้ว่า} f \mathrm{ต่อเนื่องบนช่วง} (n, n+1] \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} (ข) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{พิจารณาข้อ} \left(ค\right) \mathrm{จาก} x\in \left(n, n+1\right) \\ \mathrm{จะได้} f\left(x\right) = n+1 \mathrm{แน่นอน} \\ \mathrm{เช่น} x = 1.2 f\left(x\right) = 2 \\ x = 2.5 f\left(x\right) = 3 \\ \mathrm{ซึ่ง} f\left(x\right) = n+1 \mathrm{เป็นค่าคงที่} \\ \mathrm{จึงสรุปได้ว่า} f\text{'}\left(x\right) = 0 \mathrm{เสมอ} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(ค\right) \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$