ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2565 (หลักสูตรใหม่)

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ขนาดของมุม} \stackrel{\rightharpoonup }{s} \mathrm{และ} \stackrel{\rightharpoonup }{u} \mathrm{เท่ากับขนาดของมุม} \stackrel{\rightharpoonup }{s} \mathrm{และ} \stackrel{\rightharpoonup }{v} \\ \mathrm{จากเรื่องเวกเตอร์} \mathrm{หาขนาดของมุมได้จาก} \stackrel{\rightharpoonup }{u}·\stackrel{\rightharpoonup }{v} = \left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|\cos \theta \\ \mathrm{หาขนาดของมุม} \stackrel{\rightharpoonup }{s} \mathrm{และ} \stackrel{\rightharpoonup }{u} \mathrm{ได้จาก} \stackrel{\rightharpoonup }{s}·\stackrel{\rightharpoonup }{u} = \left|\stackrel{\rightharpoonup }{s}\right|\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|\cos \theta \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}a\\ b\\ 2\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right] = \left(\sqrt{a^2+b^2+4}\right)\left(\sqrt{2^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}\right)\cos \theta \\ 2a+b-4 = \left(3\sqrt{a^2+b^2+4}\right)\cos \theta \\ \cos \theta = \frac{2a+b-4}{3\sqrt{a^2+b^2+4}} \to \overline{)1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{หาขนาดของมุม} \stackrel{\rightharpoonup }{s} \mathrm{และ} \stackrel{\rightharpoonup }{v} \mathrm{ได้จาก} \stackrel{\rightharpoonup }{s}·\stackrel{\rightharpoonup }{v} = \left|\stackrel{\rightharpoonup }{s}\right|\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|\cos \theta \\ \left[\begin{array}{c}a\\ b\\ 2\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}0\\ -3\\ 4\end{array}\right] = \left(\sqrt{a^2+b^2+4}\right)\left(\sqrt{0^2+{\left(-3\right)}^2+{\left(4\right)}^2}\right)\cos \theta \\ -3b+8 = 5\sqrt{a^2+b^2+4}\cos \theta \\ \cos \theta = \frac{ -3b+8}{5\sqrt{a^2+b^2+4}} \to \overline{)2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \overline{)1} = \overline{)2} ; \frac{2a+b-4}{3\cancel{\sqrt{a^2+b^2+4}}} = \frac{-3b+8}{5\cancel{\sqrt{a^2+b^2+4}}} \\ \frac{2a+b-4}{3} = \frac{-3b+8}{5} \\ 10a+5b-20 = -9b+24 \\ 10a+14b-44 = 0 \to \overline{)3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \stackrel{\rightharpoonup }{s} \mathrm{ตั้งฉากกับ} \stackrel{\rightharpoonup }{w} \mathrm{จะได้ว่า} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{s}·\stackrel{\rightharpoonup }{w} = 0 \\ \left[\begin{array}{c}a\\ b\\ 2\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right] = 0 \\ a+4b+6 = 0 \to \overline{)4} \\ 10a+40b+60 = 0 \to \overline{)5} ; \mathrm{คูณ} 10 \mathrm{ทั้งสมการ} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แก้สมการจาก} \overline{)5}-\overline{)3} \mathrm{จะได้} \\ 26b+104 = 0 \\ b = -4 \\ \mathrm{แทน} b \mathrm{ลงในสมการ} \overline{)4} \mathrm{จะได้} a=10 \\ \mathrm{ดังนั้น} a+b \mathrm{เท่ากับ} 10+\left(-4\right) = 6 \end{gathered}$$