ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2566 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 13

ให้จำนวนเชิงซ้อน $u = \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}$

และ $v$ เป็นรากที่ $3$ ของจำนวนเชิงซ้อน $\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2}$

ถ้าส่วนจริงของ $\frac{u}{v}$ เป็นจำนวนจริงลบ แล้วส่วนจริงของ $v$ เท่ากับเท่าใด

1
$\cos \frac{π}{6}$
2
$\cos \frac{5 π}{6}$
3
$\cos \frac{5 π}{4}$
4
$\cos \frac{4 π}{3}$
5
$\cos \frac{3 π}{2}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน r (\cos θ + i \sin θ) คือ z_{k} = r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n})) \to 1 เมื่อ k = 0, 1, \dots, n - 1 \frac{c i s θ_{1}}{c i s θ_{2}} = c i s (θ_{1} - θ_{2}) \to 2$

$จากโจทย์ v เป็นรากที่ 3 ของจำนวนเชิงซ้อน \cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2} จะได้ รากที่ 3 ของ \cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2} = รากที่ 3 ของ 1 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2}) โดย r = 1, n = 3, θ = \frac{π}{2}$

$จาก 1 z_{k} = r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ + 2 kπ}{2}) + i \sin (\frac{θ + 2 kπ}{2})) จะได้ รากที่ 3 ของ \cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2} คือ$

$z_{k} = r^{\frac{1}{3}} (\cos (\frac{\frac{π}{2} + 2 kπ}{3}) + i \sin (\frac{\frac{π}{2} + 2 kπ}{3})) z_{k =} \cos (\frac{\frac{π}{2} + 2 kπ}{3}) + i \sin (\frac{\frac{π}{2} + 2 kπ}{3}) โดย k = 0, 1, 2 (รากที่ 3 เป็นไปได้ 3 ค่า)$

$k = 0 จะได้ z_{0} = \cos (\frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{3}) + i \sin (\frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{3}) z_{0} = \cos (\frac{\frac{π}{2} + 2 (0) π}{3}) + i \sin (\frac{\frac{π}{2} + 2 (0) π}{3}) z_{0} = \cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6} = c i s \frac{π}{6} = c i s 30 °$

$k = 1 จะได้ z_{1} = \cos (\frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{3}) + i \sin (\frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{3}) z_{1} = \cos (\frac{\frac{π}{2} + 2 (1) π}{3}) + i \sin (\frac{\frac{π}{2} + 2 (1) π}{3}) z_{1} = \cos \frac{5 π}{6} + i \sin \frac{5 π}{6} = c i s \frac{5 π}{6} = c i s 150 °$

$k = 2 จะได้ z_{2} = \cos (\frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{3}) + i \sin (\frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{3}) z_{2} = \cos (\frac{\frac{π}{2} + 2 (2) π}{3}) + i \sin (\frac{\frac{π}{2} + 2 (2) π}{3}) z_{2} = \cos \frac{9 π}{6} + i \sin \frac{9 π}{6} = \cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2} \to 3 z_{2} = c i s \frac{3 π}{2} = c i s 270 °$

$จากโจทย์ v เป็นรากที่ 3 ของจำนวนเชิงซ้อน \cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2} แสดงว่า v เป็นไปได้ 3 ค่า คือ z_{0}, z_{1}, z_{2} จากโจทย์ u = \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3} จะได้ u = \cos 60 ° + i \sin 60 ° u = c i s 60 °$

$จากโจทย์ ส่วนจริงของ \frac{u}{v} เป็นจำนวนจริงลบ กรณี 1 v = z_{0} = c i s 30 ° จะได้ \frac{u}{v} = \frac{c i s 60 °}{c i s 30 °} จาก 2 จะได้ = c i s (60 - 30) ° = c i s 30 ° แสดงว่า \frac{u}{v} อยู่ใน Q_{1} (ส่วนจริงเป็นบวก)$

$กรณี 2 v = z_{1} = c i s 150 ° จะได้ \frac{u}{v} = \frac{c i s 60 °}{c i s 150 °} จาก 2 จะได้ = c i s (60 - 150) ° = c i s (- 90) ° แสดงว่า \frac{u}{v} อยู่แกน - y (ส่วนจริงเป็น 0)$

$กรณี 3 v = z_{2} = c i s 270 ° จะได้ \frac{u}{v} = \frac{c i s 60 °}{c i s 270 °} จาก 2 จะได้ = c i s (60 - 270) ° = c i s (- 210) ° แสดงว่า \frac{u}{v} อยใน Q_{2} (ส่วนจริงเป็นลบ)$

$จากโจทย์ ส่วนจริงของ \frac{u}{v} เป็นจำนวนจริงลบ แสดงว่า v = z_{2} จาก 3 z_{2} = \cos \frac{9 π}{6} + i \sin \frac{9 π}{6} = \cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2} จะได้ v = \cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2}$

$จากโจทย์ ส่วนจริงของ v เท่ากับเท่าใด ดังนั้น ส่วนจริงของ v เท่ากับ \cos \frac{3 π}{2}$

ข้อถัดไป