ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2555 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 27

กำหนดให้ $E_{n}$ เป็นวงรีที่มีสมการเป็น $\frac{x^{2}}{a_{n}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{n}^{2}} = 1$ โดยที่ $a_{n} = 2 b_{n} \geq 0$ ถ้า $a_{1} = 2$ และจุดยอดของวงรี $E_{n}$ เป็นจุดโฟกัสของวงรี $E_{n - 1}$ ทุก $n \geq 2$

แล้ว $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$6 + 4 \sqrt{3}$
2
$8 + 4 \sqrt{3}$
3
$10 + 4 \sqrt{3}$
4
$15$
5
$17$

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร ผลบวกอนุกรมอนันต์ของเรขาคณิต S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} \to a โดย |r| < 1 E_{n} เป็นวงรี จากโจทย์ a_{n} = 2 b_{n} b_{n} = \frac{a_{n}}{2} \to 1; โดย a_{1} = 2 b_{1} = \frac{2}{2} = 1 จาก c^{2} = a^{2} - b^{2} c_{1}^{2} = a_{1}^{2} - b_{1}^{2} = 2^{2} - 1^{1} = 3 c_{1} = \sqrt{3}$

$E_{n - 1} เป็นวงรี จากโจทย์ จุดยอดของวงรี E_{n} เป็นจดโฟกัสของวงรี E_{n - 1} แสดงว่า a_{n} = c_{n - 1} \to 2 a_{2} = c_{1} a_{2} = \sqrt{3}$

$จาก 1 จะได้ b_{2} = \frac{a_{2}}{2} b_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} จาก c^{2} = a^{2} - b^{2} c_{2}^{2} = a_{2}^{2} - b_{2}^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} = 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4} c_{2} = \frac{3}{2} จาก 2 จะได้ a_{3} = c_{2} a_{3} = \frac{3}{2}$

$จากโจทย์ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . = 2 + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + . . .; r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$จาก a จะได้ = \frac{2}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{2 - \sqrt{3}} = \frac{4}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{(2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})} = \frac{4 (2 + \sqrt{3})}{2^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}} = 4 (2 + \sqrt{3}) = 8 + 4 \sqrt{3}$