ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2564

ข้อ 33

ทรงกลม คือ เซตของจุดทั้งหมดในระบบพิกัดฉากสามมิติที่ห่างจากจุดๆ หนึ่ง ที่ตรึงอยู่กับที่เป็นระยะทางคงตัว จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของทรงกลม และส่วนของเส้นตรงที่มีจุดศูนย์กลางและจุดบนทรงกลมเป็นจุดปลายเรียกว่ารัศมีของทรงกลม

กำหนดทรงกลมรัศมียาว $9$ หน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $O (0, 0, 0)$

จุด $P_{1}, P_{2} และ P_{3}$ อยู่บนทรงกลม โดยที่

$O P_{1} = [\begin{matrix} 6 \\ - 6 \\ 3 \end{matrix}], O P_{2} = [\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}] และ O P_{3} = [\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix}]$

กำหนดให้ $θ$ เป็นมุมระหว่าง $O P_{1} และ O P_{2} \times O P_{3}$ ข้อใดถูกต้อง

1
$0 ° < θ < 45 °$
2
$45 ° < θ < 90 °$
3
$θ = 90 °$
4
$90 ° < θ < 180 °$
5
$θ = 180 °$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ O P_{2} = [\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}] และ O P_{3} = [\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix}] จะได้ O P_{2} \times O P_{3} = (- 6 \bar{i} + 3 \bar{j} + 6 \bar{k}) \times (7 \bar{i} + 4 \bar{j} - 4 \bar{k}) = |\begin{matrix} 1 & j & k \\ - 6 & 3 & 6 \\ 7 & 4 & - 4 \end{matrix}| = |\begin{matrix} 3 & 6 \\ 4 & - 4 \end{matrix}| \bar{i} - |\begin{matrix} - 6 & 6 \\ 7 & - 4 \end{matrix}| \bar{j} + |\begin{matrix} - 6 & 3 \\ 7 & 4 \end{matrix}| \bar{k}$

$= (- 12 - 24) \bar{i} - (24 - 42) \bar{j} + (- 24 - 21) \bar{k} = - 36 \bar{i} + 18 \bar{j} - 45 \bar{k} = - 9 (4 \bar{i} - 2 \bar{j} + 5 \bar{k}) = - 9 [\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ 5 \end{matrix}]$

$แสดงว่า |O P_{2} \times O P_{3}| = |- 9 (4 \bar{i} - 2 \bar{j} + 5 \bar{k})| = 9 \sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2} + 5^{2}} = 9 \sqrt{45} = 27 \sqrt{5}$

$จากโจทย์ O P_{1} = [\begin{matrix} 6 \\ - 6 \\ 3 \end{matrix}] จะได้ O P_{1} = 6 \bar{i} - 6 \bar{j} + 3 \bar{k} = 3 (2 \bar{i} - 2 \bar{j} + \bar{k}) |O P_{1}| = |3 (2 \bar{i} - 2 \bar{j} + \bar{k})| = 3 \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}} = 3 \sqrt{9} = 9$

$จากสูตร \bar{u} \cdot \bar{v} = |\bar{u}| |\bar{v}| \cos θ จากโจทย์ θ เป็นมุมระหว่าง O P_{1} และ O P_{2} \times O P_{3} จะได้ (O P_{1}) \cdot (O P_{2} \times O P_{3}) = |O P_{1}| |O P_{2} \times O P_{3}| \cos θ [\begin{matrix} 6 \\ - 6 \\ 3 \end{matrix}] \cdot (- 9) [\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ 5 \end{matrix}] = 9 (27 \sqrt{5}) \cos θ$

$- 9 [6 (4) + (- 6) (- 2) + 3 (5)] = 9 (27 \sqrt{5}) \cos θ - 9 (51) = 9 (27 \sqrt{5}) \cos θ \cos θ = \frac{- 17}{9 \sqrt{5}} \to \cos θ < 0$

$\cos θ ติดลบ \to θ อยู่ Q_{2}, Q_{3} แต่เวกเตอร์ พิจารณาแค่ Q_{1}, Q_{2} เท่านั้น ดังนั้น θ อยู่ Q_{2} \to 90 ° < θ < 180 °$

ข้อถัดไป