ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2559 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 11

กำหนดให้ $z_{1}, z_{2}$ และ $z_{3}$ เป็นรากที่ $3$ ของจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง

ถ้า $z_{1}$ อยู่ในควอดรันต์ที่ $1$ โดยที่ $|z_{1}| = 2$ และ $z_{3} = z_{1}$ แล้ว $z_{2} + z_{3}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$1 + \sqrt{3} i$
2
$- 1 - \sqrt{3} i$
3
$- 1 + \sqrt{3} i$
4
$- \sqrt{2} + \sqrt{2} i$
5
$\sqrt{2} - \sqrt{2} i$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรรากที่ n ของ z = r c i s θ z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 k π}{n}) โดย k = 0, 1, 2, . . ., n - 1$

$จากโจทย์ z_{1} อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 โดยที่ |z_{1}| = 2 และ z_{3} = \bar{z_{1}} จะได้ z_{1} = 2 cis \frac{θ}{3}; 0 < \frac{θ}{3} < 90 ° รากที่ 3 แต่ละรากจะมีมุมเพิ่มขึ้น \frac{360}{3} = 120 ° อีก 2 ราก คือ 2 cis (\frac{θ}{3} + 120 °) และ 2 cis (\frac{θ}{3} + 240 °) z_{3} = \bar{z_{1}} z_{3} อยู่ใน Q_{4} 2 cis (\frac{θ}{3} + 120 °) อยู่ใน Q_{4} ไม่ได้ เพราะ 0 < \frac{θ}{3} < 90 ° แสดงว่า z_{3} = 2 cis (\frac{θ}{3} + 240 °)$

$จากรูปจะได้ว่า \frac{θ}{3} + 240 ° + \frac{θ}{3} = 360 ° \frac{2 θ}{3} = 120 ° \frac{θ}{3} = 60 °$

$z_{2} + z_{3} = 2 cis (60 ° + 120 °) + 2 cis (60 ° + 240 °) = 2 cis (180 °) + 2 cis (300 °) = 2 [\cos (180 °) + i \sin (180 °)] + 2 [\cos (300 °) + i \sin (300 °)] = 2 (- 1 + 0) + 2 (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) = - 2 + 1 - \sqrt{3} i = - 1 - \sqrt{3} i$