ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2559 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 12

เศษเหลือที่ได้จากการหาร $11^{111}$ ด้วย $1210$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$1$
2
$11$
3
$111$
4
$121$
5
$211$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรทฤษฎีบททวินาม {(x + y)}^{n} = (n 0) x^{n} + (n 1) x^{n - 1} y + . . . + (n r) x^{n - r} y^{r} + . . . + (n n) y^{n}$

$จากโจทย์ \frac{11^{111}}{1210} = \frac{11^{111}}{11^{2} (10)} = \frac{11^{109}}{10} \to 1 หาค่า 11^{109} 11^{109} = {(10 + 1)}^{109}$
$= (\begin{matrix} 109 \\ 0 \end{matrix}) 10^{109} + (\begin{matrix} 109 \\ 1 \end{matrix}) 10^{108} 1^{1} + (\begin{matrix} 109 \\ 2 \end{matrix}) 10^{107} 1^{2} + . . . + (\begin{matrix} 109 \\ 109 \end{matrix}) 1^{109} = 10^{109} + (\begin{matrix} 109 \\ 1 \end{matrix}) 10^{108} + (\begin{matrix} 109 \\ 2 \end{matrix}) 10^{107} + . . . + (\begin{matrix} 109 \\ 108 \end{matrix}) 10 (1^{108}) + 1^{109} จาก 1 จะได้ \frac{11^{111}}{1210} = \frac{11^{109}}{10} = \frac{10^{109} + (\begin{matrix} 109 \\ 1 \end{matrix}) 10^{108} + (\begin{matrix} 109 \\ 2 \end{matrix}) 10^{107} + . . . + (\begin{matrix} 109 \\ 108 \end{matrix}) 10 (1^{108}) + 1^{109}}{10} = \frac{10^{109} + (\begin{matrix} 109 \\ 1 \end{matrix}) 10^{108} + (\begin{matrix} 109 \\ 2 \end{matrix}) 10^{107} + . . . + (\begin{matrix} 109 \\ 108 \end{matrix}) 10 + 1}{10}$

$จะเห็นว่า เศษจะมีเลข 10 ทุกพจน์ ยกเว้นพจน์สุดท้าย คือ 1 แสดงว่า 11^{109} หาร 10 เหลือเศษ 1$

$จะได้ 11^{109} = 10 A + 1; คูณ 11^{2} ทั้ง 2 ข้าง (11^{2}) 11^{109} = (11^{2}) (10 A + 1) 11^{111} = 1210 A + 11^{2} 11^{111} = 1210 A + 121 ดังนั้น 11^{111} หาร 1210 เหลือเศษ 121$