ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2560 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 14

ไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีโฟกัสอยู่ที่จุด $(- 7, 1)$ และ $(5, 1)$ ถ้าเส้นกำกับเส้นหนึ่งของไฮเพอร์โบลานี้ ขนานกับเส้นตรง $\sqrt{2} x - y + 5 = 0$ แล้วสมการของไฮเพอร์โบลาคือข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{{(x + 1)}^{2}}{24} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$
2
$\frac{{(x + 1)}^{2}}{12} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{24} = 1$
3
$\frac{{(x - 1)}^{2}}{12} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{24} = 1$
4
${(x + 1)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{2} = 1$
5
${(x - 1)}^{2} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{2} = 1$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีโฟกัสอยู่ที่จุด (- 7, 1) และ (5, 1) แสดงว่า จุดศูนย์กลาง (h, k) = (\frac{- 7 + 5}{2}, \frac{1 + 1}{2}) = (- 1, 1) - เป็นไฮเพอร์โบลาแกนนอน เนื่องจาก จุดโฟกัสเรียงตัวในแนวนอน c = \frac{5 - (- 7)}{2} = 6$

$จากสุตร c^{2} = a^{2} + b^{2}; แทน c = 6 6^{2} = a^{2} + b^{2} a^{2} + b^{2} = 36 \to 1 จากโจทย์ เส้นกำกับเส้นหนึ่งของไฮเพอร์โบลานี้ ขนานกับเส้นตรง \sqrt{2} x - y + 5 = 0 แสดงว่า เส้นกำกับเส้นหนึ่งของไฮเพอร์โบลา มีความชันเท่ากับเส้นตรง \sqrt{2} x - y + 5 = 0$

$จะได้ เส้นกำกับไฮเพอร์โบลา = m_{L} โดย Ax + By + C = 0 \to m_{L} = - \frac{A}{B}; เส้นกำกับไฮเพอร์โบลา = \frac{- \sqrt{2}}{- 1} = \sqrt{2}$

$สูตร เส้นกำกับไฮเปอร์โบลาแกนนอน = \pm \frac{b}{a} \sqrt{2} = \pm \frac{b}{a} \sqrt{2} = \frac{b}{a} b = \sqrt{2} a b^{2} = 2 a^{2} \to 2 จาก 1 a^{2} + b^{2} = 36; แทน b^{2} = 2 a^{2}$
$จะได้ a^{2} + 2 a^{2} = 36 3 a^{2} = 36 a^{2} = 12; แทนใน 2 จะได้ b^{2} = 2 (12) b^{2} = 24$

$ดังนั้น สมการไฮเปอร์โบลาคือ \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 \frac{{[x - (- 1)]}^{2}}{12} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{24} = 1 \frac{{(x + 1)}^{2}}{12} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{24} = 1$