ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2560 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 24

ถ้า $𝑓 (x)$ เป็นฟังก์ชันพหุนาม และกราฟของ $y = 𝑓 (x)$ ตัดกับกราฟของ $y = 3 x - 4$ ที่ $x = 2$ และ $x = 5$

แล้ว $\int_{2}^{5} (2 x 𝑓 (x) + (x^{2} - 1) 𝑓' (x)) d x$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$94$
2
$104$
3
$158$
4
$258$
5
$264$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ y = f (x) ตัดกับกราฟ y = 3 x - 4 ที่ x = 2 และ x = 5 แสดงว่า ที่ x = 2 y = 3 (2) - 4 = 2 จะได้ f (2) = 2 ที่ x = 5 y = 3 (5) - 4 = 11 จะได้ f (5) = 11$

$จากโจทย์ \int_{2}^{5} (2 x f (x) + (x^{2} - 1) f' (x)) d x \to 1 - พิจารณา 2 x และ x^{2} - 1 กำหนดให้ u = x^{2} - 1 \to u (x) = x^{2} - 1; แทนใน 1 จะได้ u' = 2 x \to u' (x) = 2 x; แทนใน 1$

$จาก 1 จะได้ \int_{2}^{5} (u' (x) f (x) + u (x) f' (x)) d x = \int_{2}^{5} (f (x) u' (x) + u (x) f' (x)) d x โดย (u \cdot v)' = u v' + v u' = \int_{2}^{5} (f (x) u (x))' d x; \int y' d x = y = f (x) \cdot u (x) |_{2}^{5}; u (x) = x^{2} - 1 = f (x) \cdot {(x^{2} - 1)}_{2}^{5}$
$= f (5) (5^{2} - 1) - f (2) (2^{2} - 1) โดย f (5) = 11, f (2) = 2 = 11 (24) - 2 (3) = 258 ดังนั้น \int_{2}^{5} (2 xf (x) + (x^{2} - 1) f' (x)) dx = 258$