ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 23

ให้ $H$ เป็นไฮเพอร์โบลาที่มีแกนสังยุคอยู่บนเส้นตรง $x = 1$ และมีจุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่ $(0, 2)$ ถ้า $H$ ผ่านจุดศูนย์กลางของวงรีซึ่งมีสมการเป็น $5 x^{2} - 30 x + 9 y^{2} = 0$ แล้วสมการของไฮเพอร์โบลา $H$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$4 x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y - 12 = 0$
2
$4 x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y - 13 = 0$
3
$4 x^{2} - 3 y^{2} - 8 x - 6 y - 12 = 0$
4
$3 x^{2} - 4 y^{2} - 6 x + 16 y - 17 = 0$
5
$3 x^{2} - 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 17 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ H เป็นไฮเพอร์โบลาที่มีแกนสังยุคอยู่บนเส้นตรง x = 1 และมีจุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่ (0, 2) แสดงว่า เป็นไฮเพอร์โบลาแกนนอน และ V_{1} = (0, 2) - วาดรูปกราฟไฮเพอร์โบลา$

$จะได้ a = 1 และ (h, k) = (1, 2) จากสูตร ไฮเพอร์โบลาแกนนอน \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 จะได้ \frac{{(x - 1)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{b^{2}} = 1 \to 1 จากโจทย์ H ผ่านจุดศูนย์กลางของวงรี ซึ่งมีสมการเป็น 5 x^{2} - 30 x + 9 y^{2} = 0$

$จะได้ 5 x^{2} - 30 x + 9 y^{2} = 0 5 (x^{2} - 6 x) + 9 y^{2} = 0 5 (x^{2} - 6 x + 9) + 9 y^{2} = 5 (9) 5 {(x - 3)}^{2} + 9 y^{2} = 5 (9) \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{5} = 1 แสดงว่า จุดศูนย์กลางของวงรี = (3, 0) - แทนจุด (3, 0) ใน 1$

$จะได้ \frac{{(3 - 1)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(0 - 2)}^{2}}{b^{2}} = 1 4 - \frac{4}{b^{2}} = 1 3 = \frac{4}{b^{2}} b^{2} = \frac{4}{3}; แทนใน 1 จาก 1 จะได้ \frac{{(x - 1)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{\frac{4}{3}} = 1$
${(x - 1)}^{2} - \frac{3}{4} {(y - 2)}^{2} = 1 4 {(x - 1)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = 4 4 (x^{2} - 2 x + 1) - 3 (y^{2} - 4 y + 4) = 4 4 x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y - 12 = 0$