ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 42

ให้ $ℝ$ เป็นเซตของจำนวนจริงให้ $f : ℝ \to ℝ$ เป็นฟังก์ชัน

โดยที่ $f (x) = \{\begin{cases} {ax}^{2} + bx + 4; x \geq 0 \\ 4 x + c; x < 0 \end{cases}$ เมื่อ $a, b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริงและสอดคล้องกับ $f' (3) + f (3) = 45$ และ $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{9}{2}$

แล้วค่าของ $f (a) + f (b) + f (c)$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f เป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่อง แสดงว่า ที่รอยต่อของฟังก์ชั่น (x = 0) ต้องได้ค่า f (0) เท่ากัน จะได้ a x^{2} + b x + 4 = 4 x + c - แทน x = 0 a {(0)}^{2} + b (0) + 4 = 4 (0) + c c = 4$

$จากโจทย์ f (x) = a x^{2} + b x + 4; x \geq 0 จะได้ f' (x) = 2 a x + b - แทน x = 3 (3 \geq 0) จะได้ f (3) = a {(3)}^{2} + b (3) + 4 = 9 a + 3 b + 4 f' (3) = 2 a (3) + b = 6 a + b$

$จากโจทย์ f' (3) + f (3) = 45 (6 a + b) + (9 a + 3 b + 4) = 45 15 a + 4 b = 41 \to 1 จากโจทย์ \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{9}{2}$

$- โดย x \in (0, 1) \to x > 0 จะได้ \int_{0}^{1} (a x^{2} + b x + 4) d x = \frac{9}{2} {a \frac{x^{3}}{3} + b \frac{x^{2}}{2} + 4 x}_{0}^{1} = \frac{9}{2}$

$[a \frac{{(1)}^{3}}{3} + b \frac{{(1)}^{2}}{2} + 4 (1)] - (0 + 0 + 0) = \frac{9}{2} \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + 4 = \frac{9}{2} 2 a + 3 b = 3 \to 2$

$- จาก 1, 2 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ a = 3, b = - 1 จาก f (x) = \{\begin{cases} a x^{2} + b x + 4 & ; x \geq 0 \\ 4 x + c & ; x < 0 \end{cases} - แทนค่า a, b, c จะได้ f (x) = \{\begin{cases} 3 x^{2} - x + 4 & ; x \geq 0 \\ 4 x + 4 & ; x < 0 \end{cases}$