ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2563

ข้อ 42

กำหนดให้ $F_{1}$ และ $F_{2}$ เป็นฟังก์ชันของไฮเพอร์โบลารูปหนึ่ง ซึ่งมีสมการเป็น $5 x^{2} - 4 y^{2} - 10 x - 16 y = 31$ ถ้า $a, b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง ที่ทำให้วงกลม $x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0$ มี $F_{1} F_{2}$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางแล้ว $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จัดรูปไฮเพอร์โบลา 5 x^{2} - 4 y^{2} - 10 x - 16 y = 31 5 (x^{2} - 2 x) - 4 (y^{2} + 4 y) = 31 5 (x^{2} - 2 x + 1) - 4 (y^{2} + 4 y + 4) = 31 + 5 (1) - 4 (4) 5 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 2)}^{2} = 20 \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{5} = 1$

$เทียบกับรูปสมการ \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 จะเป็นไฮเพอร์โบลาแนวนอน วงกลมที่มี \bar{F_{1} F_{2}} เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จะมีจุดศูนย์กลางร่วมกับไฮเพอร์โบลา และมีรัศมียาวเท่ากับระยะโฟกัสของไฮเพอร์โบลา ดังรูป$

$ไฮเพอร์โบลา มีจุดศูนย์กลาง (h, k) = (1, - 2) ระยะโฟกัส c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{4 + 5} = 3 วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (1, - 2) และรัศมี 3$

$มีสมการคือ {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 3^{2} x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 4 y + 4 = 9 x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$

$เทียบกับรูป x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 จะได้ a = - 2, b = 4, และ c = - 4 ดังนั้น a^{2} + b^{2} + c^{2} = {(- 2)}^{2} + 4^{2} + {(- 4)}^{2} = 36$