ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 11

แกนเอกของวงรีเป็นส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดตัดของวงกลม $x^{2} + y^{2} = 25$ กับวงกลม $x^{2} + y^{2} + 6 y - 7 = 0$ และโฟกัสจุดหนึ่งของวงรีอยู่บนเส้นตรง $x + 2 \sqrt{3} = 0$ สมการของวงรีตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$x^{2} + 4 y^{2} - 8 x = 0$
2
$x^{2} + 4 y^{2} + 24 y + 20 = 0$
3
$4 x^{2} + y^{2} + 6 y - 7 = 0$
4
$4 x^{2} + y^{2} - 32 x + 48 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ แกนเอกของวงรีเป็นเส้นตรงที่เชื่อมจุดตัด x^{2} + y^{2} = 25 กับ x^{2} + y^{2} + 6 y - 7 = 0 x^{2} = 25 - y^{2} \to 1 แทน x^{2} = 25 - y^{2} ใน x^{2} + y^{2} + 6 y - 7 = 0 จะได้ (25 - y^{2}) + y^{2} + 6 y - 7 = 0 6 y + 18 = 0 y = - 3; แทนใน 1 x^{2} = 25 - {(- 3)}^{2} \to x = - 4, 4$

$จุดตัดของวงกลมทั้งสอง คือ (- 4, - 3), (4, - 3) เป็นวงรีแกนนอน มี (h, k) = (0, - 3) แกนเอกของวงรี = 2 a = 4 - (- 4) 2 a = 8 \to a = 4 จากโจทย์ - โฟกัสจุดหนึ่งของวงรีอยู่บนเส้นตรง x + 2 \sqrt{3} = 0 x = - 2 \sqrt{3}$

$แสดงว่า c = - 2 \sqrt{3} โดย c^{2} = a^{2} - b^{2} {(2 \sqrt{3})}^{2} = 4^{2} - b^{2} 12 = 16 - b^{2} b^{2} = 4$

$สูตรวงรี \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 \frac{{(x - 0)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{4} = 1 \frac{x^{2}}{16} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1 x^{2} + 4 {(y + 3)}^{2} = 16 x^{2} + 4 (y^{2} + 6 y + 9) = 16 x^{2} + 4 y^{2} + 24 y + 20 = 0 ดังนั้น สมการวงรี คือ x^{2} + 4 y^{2} + 24 y + 20 = 0$