ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 30

กำหนดให้ A แทนเซตคำตอบของสมการ $x^{2} \log_{4} (x^{2} + 2 x - 1) + x \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2 x - 1) = 2 x - x^{2}$

และให้ $B = \{x^{2} x \in A\}$ ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ x^{2} \log_{4} (x^{2} + 2 x - 1) + x \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2 x - 1) = 2 x - x^{2} จะได้ x^{2} \log_{2^{2}} (x^{2} + 2 x - 1) + x \log_{2^{- 1}} (x^{2} + 2 x - 1) = 2 x - x^{2} \frac{x^{2}}{2} \log_{2} (x^{2} + 2 x - 1) + \frac{x}{(- 1)} \log_{2} (x^{2} + 2 x - 1) = 2 x - x^{2}$
$\frac{x^{2}}{2} \log_{2} (x^{2} + 2 x - 1) - {xlog}_{2} (x^{2} + 2 x - 1) = 2 x - x^{2} (\frac{x^{2}}{2} - x) (\log_{2} (x^{2} + 2 x - 1)) + x^{2} - 2 x = 0 (x^{2} - 2 x) \frac{1}{2} (\log_{2} (x^{2} + 2 x - 1)) + x^{2} - 2 x = 0 (x^{2} - 2 x) (\frac{1}{2} \log_{2} (x^{2} + 2 x - 1) + 1) + 1 = 0$
$จะได้ x^{2} - 2 x = 0 หรือ \frac{1}{2} \log_{2} (x^{2} + 2 x - 1) + 1 = 0 x (x - 2) = 0 \log_{2} (x^{2} + 2 x - 1) = - 2 x = 0, 2 x^{2} + 2 x - 1 = 2^{- 2} x^{2} + 2 x - 1 = \frac{1}{4} 4 x^{2} + 8 x - 4 = 1 4 x^{2} + 8 x - 5 = 0 (2 x - 1) (2 x + 5) = 0 x = \frac{1}{2}, \frac{- 5}{2}$
$แสดงว่า x = 0, 2, \frac{1}{2}, \frac{- 5}{2} - โดย \log_{a} x \to x > 0 จะได้ x^{2} + 2 x - 1 > 0$

$นำค่า x มาตรวจคำตอบ แทน x = 0 {(0)}^{2} + 2 (0) - 1 > 0 - 1 > 0 ผิด แทน x = 2 {(2)}^{2} + 2 (2) - 1 > 0 7 > 0 ถูก แทน x = \frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{2} + 2 (\frac{1}{2}) - 1 > 0 \frac{1}{4} > 0 ถูก แทน x = \frac{- 5}{2} (\frac{- 5}{2})^{2} + 2 (\frac{- 5}{2}) - 1 > 0 \frac{1}{4} > 0 ถูก ดังนั้น x = 2, \frac{1}{2}, \frac{- 5}{2}$

$จากโจทย์ B = \{x^{2} x \in A\} B = \{2^{2}, {(\frac{1}{2})}^{2}, {(\frac{- 5}{2})}^{2}\} ดังนั้น ผลบวกของสมาชิกในเซต B = 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{- 5}{2})}^{2} = 4 + \frac{1}{4} + \frac{25}{4} = 10.5$