ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 49

สำหรับ $n = 1, 2, 3, \dots$ กำหนดให้ $a_{n} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}$ และ $b_{n} = 1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}$

จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่ทำให้ $\frac{a_{2} a_{3} \dots a_{n}}{b_{2} b_{3} \dots b_{n}} = 1331$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}, b_{n} = 1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} จะได้ \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}}{1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}} = \frac{(1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}) n^{2}}{(1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}) n^{2}} = \frac{n^{2} + n - 1}{n^{2} - n - 1} = \frac{n (n + 1) - 1}{n (n - 1) - 1}$
$จากโจทย์ \frac{a_{2} a_{3} \dots a_{n}}{b_{2} b_{3} \dots b_{n}} = 1331 (\frac{2 (3) - 1}{2 (1) - 1}) (\frac{3 (4) - 1}{3 (2) - 1}) (\frac{4 (5) - 1}{4 (3) - 1}) . . . (\frac{n (n + 1) - 1}{n (n - 1) - 1}) = 1331 (\frac{2 (3) - 1}{1}) (\frac{3 (4) - 1}{3 (2) - 1}) (\frac{4 (5) - 1}{4 (3) - 1}) . . . (\frac{n (n + 1) - 1}{n (n - 1) - 1}) = 1331 \frac{n (n + 1) - 1}{1} = 1331 n (n + 1) - 1 = 1331 n^{2} + n - 1332 = 0 (n - 36) (n + 37) = 0 n = 36, - 37$