ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 8

กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวกที่มากกว่า 2 สอดคล้องกับ $\log_{a} (b - 2) = \log_{\sqrt{a}} \sqrt{3} + \log_{a^{2}} (b + 2)$ และ $(\log_{a}^{2} a) (\log_{a} b) = 1 + \log_{\sqrt{a}} b$ แล้ว $a + b$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$183$
2
$210$
3
$216$
4
$225$
5
$239$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \log_{a} (b - 2) = \log_{\sqrt{a}} \sqrt{3} + \log_{a^{2}} (b + 2) ปรับฐาน \log ให้เท่ากัน (ฐาน = a); \log_{a} (b - 2) = \log_{a^{\frac{1}{2}}} 3^{\frac{1}{2}} + \log_{a^{2}} (b + 2) โดย \log_{n^{b}} m^{a} = (\frac{a}{b}) \log_{n} m; \log_{a} (b - 2) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \log_{a} 3 + \frac{1}{2} \log_{a} (b + 2)$
$\log_{a} (b - 2) = \log_{a} 3 + \log_{a} {(b + 2)}^{\frac{1}{2}} โดย \log m + \log n = \log (m \cdot n); \log_{a} (b - 2) = \log_{a} [3 \cdot {(b + 2)}^{\frac{1}{2}}] จะได้ b - 2 = 3 \cdot {(b + 2)}^{\frac{1}{2}}; ยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้าง {(b - 2)}^{2} = [3 {(b + 2)}^{\frac{1}{2}}]^{2}$

$b^{2} - 4 b + 4 = 9 (b + 2) b^{2} - 13 b - 14 = 0 (b - 14) (b + 1) = 0 b = 14, - 1; จากโจทย์ b เป็นจำนวนจริงบวก > 2 ดังนั้น b = 14$

$จากโจทย์ (\log_{b}^{2} a) (\log_{a} b) = 1 + \log_{\sqrt{a}} b แทนค่า b = 14 จะได้ (\log_{14}^{2} a) (\log_{a} 14) = 1 + \log_{a^{\frac{1}{2}}} 14 จัดให้อยู่ในรูป \log_{a} 14;$

${(\frac{1}{\log_{a} 14})}^{2} (\log_{a} 14) = 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_{a} 14 \frac{1}{\log_{a} 14} = 1 + 2 \log_{a} 14 คูณด้วย \log_{a} 14 ทั้ง 2 ข้าง; 1 = \log_{a} 14 + 2 {(\log_{a} 14)}^{2} 2 {(\log_{a} 14)}^{2} + \log_{a} 14 - 1 = 0 (2 \log_{a} 14 - 1) (\log_{a} 14 + 1) = 0$

$จะได้ 2 \log_{a} 14 - 1 = 0 หรือ \log_{a} 14 + 1 = 0 \log_{a} 14 = \frac{1}{2} \log_{a} 14 = - 1 14 = a^{\frac{1}{2}} 14 = a^{- 1} a = {(14)}^{2} \frac{1}{a} = 14 a = 196 a = \frac{1}{14}$

$จากโจทย์ a เป็นจำนวนจริงบวก > 2 ดังนั้น a = 196 หาค่าของ a + b = 196 + 14 = 210$