ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

$A จากโจทย์ A = \cos 15 ° + \cos 87 ° + \cos 159 ° + \cos 231 ° + \cos 303 ° สังเกต พบว่ามุมเพิ่มทีละ 72 ° เท่าๆกัน ซึ่ง \frac{360}{5} = 72 ° จะเหมือนกับ การหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนที่มีราก 5 ตัว ตัวที่ 1 \cos 15 ° + isin 15 ° ตัวที่ 2 \cos 87 ° + isin 87 ° ตัวที่ 3 \cos 159 ° + isin 159 ° ตัวที่ 4 \cos 231 ° + isin 231 ° ตัวที่ 5 \cos 303 ° + isin 303 °$

$รากทั้ง 5 ตัวนี้ มาจากสมการเชิงซ้อน; z^{n} = r^{n} cis (nθ) z^{5} = 1 cis (15 \cdot 5) ° z^{5} = 1 cis 75 ° z^{5} - 1 cis 75 ° = 0 จากสูตรผลบวกราก P (x) = {Ax}^{5} + {Bx}^{4} + {Cx}^{3} + {Dx}^{2} + Cx + D ผลบวกรากได้ z_{1} + z_{2} + z_{3} + z_{4} + z_{5} = - \frac{B}{A} (ไม่มีพจน์ z^{4} จะได้ ส . ป . ส . z^{4} = 0)$

$ผลบวกราก \frac{ส . ป . ส . z^{4}}{ส . ป . ส . z^{5}} = - \frac{0}{1} = 0 จะได้ ส่วนจริง และส่วนจินตภาพ จะเท่ากับ 0 \cos 15 ° + \cos 87 ° + \cos 159 ° + \cos 231 ° + \cos 303 ° = \sin 15 ° + \sin 87 ° + \sin 159 ° + \sin 231 ° + \sin 303 ° = 0 (ข้อนี้คือหาผลบวกของรากที่ 5 ของ cis 75 ° นั่นเอง) ดังนั้น A = \cos 15 ° + \cos 87 ° + \cos 159 ° + \cos 231 ° + \cos 303 ° A = 0$

$B จากโจทย์ B = \sin (\arctan (\frac{15}{8}) + \arccos (\frac{4}{5})) กำหนดให้ x = \arctan (\frac{15}{8}) และ y = \arccos (\frac{4}{5}) จะได้ \tan x = \frac{15}{8} \cos y = \frac{4}{5} นำมาวาดรูปสามเหลี่ยม$

$จาก B = \sin (\arctan (\frac{15}{8}) + \arccos (\frac{4}{5})) - แทน \arctan (\frac{15}{8}) = x, \arccos (\frac{4}{5}) = y จะได้ B = \sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y = (\frac{15}{17}) (\frac{4}{5}) + (\frac{8}{17}) (\frac{3}{5}) = \frac{84}{85}$

$ดังนั้น A + B = 0 + \frac{84}{85} A + B = \frac{84}{85}$

$จากโจทย์ ถ้า A + B = \frac{a}{b} เมื่อ ห . ร . ม . ของ a และ b เท่ากับ 1 - แทนค่า A + B = \frac{84}{85} จะได้ \frac{84}{85} = \frac{a}{b} ดังนั้น a = 84, b = 85 หาค่าของ a + b = 84 + 85 = 169$