ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

ข้อ 39

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง โดยที่อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $f (x)$ เทียบกับ x เท่ากับ $a x^{3} + b x$ เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง และให้ $g (x) = (x^{3} + 2 x) f (x)$ ถ้า $f' (1) = 18, f'' (0) = 6$ และ $f (2) = f (1) + f (0)$ แล้วค่าของ $g' (- 1)$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f (x) เทียบกับ x คือ f (x) จากโจทย์ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f (x) เทียบกับ x เท่ากับ {ax}^{3} + bx แสดงว่า f' (x) = {ax}^{3} + bx \to 1 f'' (x) = 3 {ax}^{2} + b \to 2$

$จากโจทย์ f (1) = 18; แทน x = 1 ใน 1 จะได้ a {(1)}^{3} + b (1) = 18 a + b = 18 \to 3$

$จากโจทย์ f'' (0) = 6; แทน x = 0 ใน 2 จะได้ 3 a (0) + b = 6 b = 6; แทนค่า b ใน 3 จะได้ a = 12 จาก 1 จะได้ f' (x) = 12 x^{3} + 6 x \to 4$

$จากสูตร f (x) = \int f' (x) dx = \int (12 x^{3} + 6 x) dx = \frac{12 x^{4}}{4} + \frac{6 x^{2}}{2} + c = 3 x^{4} + 3 x^{2} + c \to 5$

$จากโจทย์ f (2) = f (1) + f (0) 3 {(2)}^{4} + 3 {(2)}^{2} + c = [3 {(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2} + c] + [3 {(0)}^{4} + 3 {(0)}^{2} + c] 60 = 6 + c c = 54 จาก 5 จะได้ f (x) = 3 x^{4} + 3 x^{2} + 54 \to 6$

$จากโจทย์ g (x) = (x^{3} + 2 x) f (x) จะได้ g' (x) = (x^{3} + 2 x) \cdot f' (x) + f (x) \cdot \frac{d}{dx} (x^{3} + 2 x) = (x^{3} + 2 x) \cdot f' (x) + f (x) \cdot (3 x^{2} + 2)$
$แทนค่า x = - 1 g' (- 1) = [{(- 1)}^{3} + 2 (- 1)] \cdot f' (- 1) + f (- 1) \cdot (3 {(- 1)}^{2} + 2) = (- 3) \cdot f' (- 1) + f (- 1) \cdot (5) \to 7$

$หาค่า f' (- 1) แทน x = - 1 ใน 4 จะได้ f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{3} + 6 (- 1) = - 18; แทนใน 7$

$หาค่า f (x) แทน x = - 1 ใน 6 จะได้ f (- 1) = 3 {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2} + 54 = 60; แทนใน 7$

$จาก 7 g' (- 1) = (- 3) \cdot f' (- 1) + f (- 1) \cdot (5) = (- 3) (- 18) + 60 (5) = 54 + 300 = 354$

ข้อถัดไป