ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

ข้อ 40

กำหนดให้ $f (x)$ เป็นพหุนามกำลังสาม ซึ่งมีสัมประสิทธ์เป็นจำนวนจริง โดยที่มี $x + 1$ เป็นตัวประกอบของ $f (x)$

$5 + 2 i$ เป็นคำตอบของสมการ $f (x) = 0$ และ $f (0) = 58$ ค่าของ $\int_{0}^{2} [f (x) - f (- x)] d x$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ 5 + 2 i เป็นคำตอบของสมการ f (x) = 0 แสดงว่า 5 - 2 i เป็นคำตอบของสมการด้วย$

$จากโจทย์ x + 1 เป็นตัวประกอบของ f (x) จะได้ f (x) = k (x + 1) [x - (5 + 2 i)] [x - (5 - 2 i)] = k (x + 1) [(x - 5) - (2 i)] [(x - 5) + 2 i] = k (x + 1) [{(x - 5)}^{2} - {(2 i)}^{2}] = k (x + 1) [x^{2} - 10 x + 25 - (- 4)] f (x) = k (x + 1) [x^{2} - 10 x + 29] \to 1$

$จากโจทย์ f (0) = 58 แทน x = 0 ใน 1 จะได้ k (0 + 1) [0^{2} - 10 (0) + 29] = 58 k (1) (29) = 58 k = 2; แทนใน 1$

$จะได้ f (x) = 2 (x + 1) [x^{2} - 10 x + 29] = 2 [x^{3} - 10 x^{2} + 29 x + x^{2} - 10 x + 29] = 2 [x^{3} - 9 x^{2} + 19 x + 29] = 2 x^{3} - 18 x^{2} + 38 x + 58$

$และ f (- x) = 2 {(- x)}^{3} - 18 {(- x)}^{2} + 38 (- x) + 58 f (- x) = - 2 x^{3} - 18 x^{2} - 38 x + 58 แสดงว่า f (x) - f (- x) = 4 x^{3} + 76 x$

$ดังนั้น \int_{0}^{2} [f (x) - f (- x)] d x = \int_{0}^{2} [4 x^{3} + 76 x] d x = {(\frac{4 x^{4}}{4} + \frac{76 x^{2}}{2})}_{0}^{2} = {(x^{4} + 38 x^{2})}_{0}^{2} = [2^{4} + 38 {(2)}^{2}] - [0^{4} + 38 (0)] = 16 + 152 = 168$