ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

$$\begin{gathered} \mathrm{หาค่าของ} {\left(1-i\right)}^3=1-3i+3i^2-i^3 \\ =1-3i-3+i \\ =-2-2i \\ \mathrm{จากโจทย์} x\left(3+5i\right)+y{\left(1-i\right)}^3=3+7i \\ \mathrm{แทน} {\left(1-i\right)}^3=-2-2i \\ \mathrm{จะได้} x\left(3+5i\right)+y\left(-2-2i\right)=3+7i \\ 3x+5xi-2y-2yi=3+7i \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จัดรูป} \left(3x-2y\right)+\left(5x-2y\right)i=3+7i \\ \mathrm{เทียบ} ส.ป.ส. \mathrm{ส่วนจริง} \mathrm{และส่วนจินตภาพ} \\ 3x-2y=3\to \boxed{1} \\ 5x-2y=7\to \boxed{2} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1},\boxed{2} \mathrm{แก้} 2 \mathrm{สมการ} 2 \mathrm{ตัวแปร} \mathrm{จะได้} x=2 , y=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} z=x+yi ; \mathrm{แทนค่า} x=2 , y=\frac{3}{2} \\ \mathrm{จะได้} z=2+\frac{3}{2}i \\ z=\frac{4+3i}{2}\to \boxed{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(ก\right) \mathrm{หาค่าของ} iz=i\left(2+\frac{3}{2}i\right) \\ =-\frac{3}{2}+2i \\ \overline{iz}=-\frac{3}{2}-2i \\ \left(\mathrm{จากนิยาม} z=a+bi\to \overline{z}=a-bi\right) \\ \mathrm{จะได้} Im\left(\overline{iz}\right)=-2 \mathrm{และ} Re\left(\overline{iz}\right)=-\frac{3}{2} \\ \mathrm{จากโจทย์} Im\left(\overline{iz}\right)=-Re\left(iz\right) \\ \mathrm{จะได้} -2\ne -(-\frac{3}{2}) \mathrm{ข้อ} \left(ก\right) \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(ข\right) \mathrm{จากโจทย์} \frac{1}{z}=\frac{8-6i}{7} \\ \mathrm{จาก} \boxed{3} z=\frac{4+3i}{2} \\ \mathrm{จะได้} \frac{1}{z}=\frac{2}{4+3i} \\ =\frac{2}{\left(4+3i\right)}·\frac{\left(4-3i\right)}{\left(4-3i\right)} \\ =\frac{2\left(4-3i\right)}{\left(4^2+3^2\right)} \\ =\frac{8-6i}{25} \mathrm{ข้อ} \left(ข\right) \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$