ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 14

กำหนดให้ z = x + yi เป็นจำนวนเชิงซ้อน เมื่อ x และ y เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
$x (3 + 5 i) + y {(1 - i)}^{3} = 3 + 7 i$ พิจาณาข้อความต่อไปนี้
(ก) $I m (i z) = - R e (i z)$
(ข) $\frac{1}{z} = \frac{8 - 6 i}{7}$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$หาค่าของ {(1 - i)}^{3} = 1 - 3 i + 3 i^{2} - i^{3} = 1 - 3 i - 3 + i = - 2 - 2 i จากโจทย์ x (3 + 5 i) + y {(1 - i)}^{3} = 3 + 7 i แทน {(1 - i)}^{3} = - 2 - 2 i จะได้ x (3 + 5 i) + y (- 2 - 2 i) = 3 + 7 i 3 x + 5 x i - 2 y - 2 y i = 3 + 7 i$

$จัดรูป (3 x - 2 y) + (5 x - 2 y) i = 3 + 7 i เทียบ ส . ป . ส . ส่วนจริง และส่วนจินตภาพ 3 x - 2 y = 3 \to 1 5 x - 2 y = 7 \to 2 จาก 1, 2 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ x = 2, y = \frac{3}{2}$

$จากโจทย์ z = x + y i; แทนค่า x = 2, y = \frac{3}{2} จะได้ z = 2 + \frac{3}{2} i z = \frac{4 + 3 i}{2} \to 3$

$(ก) หาค่าของ i z = i (2 + \frac{3}{2} i) = - \frac{3}{2} + 2 i \bar{i z} = - \frac{3}{2} - 2 i (จากนิยาม z = a + b i \to \bar{z} = a - b i) จะได้ I m (\bar{i z}) = - 2 และ R e (\bar{i z}) = - \frac{3}{2} จากโจทย์ I m (\bar{i z}) = - R e (i z) จะได้ - 2 \neq - (- \frac{3}{2}) ข้อ (ก) ผิด$

$(ข) จากโจทย์ \frac{1}{z} = \frac{8 - 6 i}{7} จาก 3 z = \frac{4 + 3 i}{2} จะได้ \frac{1}{z} = \frac{2}{4 + 3 i} = \frac{2}{(4 + 3 i)} \cdot \frac{(4 - 3 i)}{(4 - 3 i)} = \frac{2 (4 - 3 i)}{(4^{2} + 3^{2})} = \frac{8 - 6 i}{25} ข้อ (ข) ผิด$