ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 33

กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ โดยที่มีความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม B และมุม C เท่ากับ a หน่วย b หน่วย และ c หน่วย ตามลำดับ ถ้ามุม A มีขนาดมากกว่า $90 °$ มุม B มีขนาด $45 °$

และ $\sqrt{2} c = (\sqrt{3} - 1) a$ แล้ว $\cos^{2} (A - B - C) + \cos^{2} B + \cos^{2} C$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรตรีโกณ กฎของ \sin \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c} จัดรูป \frac{c}{a} = \frac{\sin C}{\sin A} \to a$

$จากโจทย์ กำหนด A B C เป็นรูปสามเหลี่ยม แสดงว่า A + B + C = 180 ° มุม B มีขนาด 45 ° (B = 45 °) จะได้ A + 45 ° + C = 180 ° A = 135 ° - C \to 1 จากโจทย์ \sqrt{2} c = (\sqrt{3} - 1) a \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \to 2$
$จาก a \frac{c}{a} = \frac{\sin C}{\sin A} - จาก 1, 2 แทนค่า \frac{c}{a}, มุม A ลงใน a จะได้ \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sin C}{\sin (135 ° - C)} สูตร \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sin C}{\sin 135 \cos C - \cos 135 \sin C} แปลงมุม \sin 135 = \sin 45, \cos 135 = - \cos 45$

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sin C}{\sin 45 \cos C - (- \cos 45) \sin C} โดย \sin 45 = \frac{1}{\sqrt{2}}, \cos 45 = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sin C}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cos C + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin C} = \frac{\sin C}{\frac{1}{\sqrt{2}} (\cos C + \sin C)} \frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \frac{\sin C}{\cos C + \sin C}$

$จัดรูป \frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\cos C + \sin C}{\sin C} = \frac{\cos C}{\sin C} + \frac{\sin C}{\sin C} = c o t C + 1 คอนจูเกต \frac{2}{(\sqrt{3} - 1)} \frac{\cdot (\sqrt{3} + 1)}{\cdot (\sqrt{3} + 1)} = c o t C + 1 \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = c o t C + 1 \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2} = c o t C + 1 \sqrt{3} + 1 = c o t C + 1$

$จะได้ c o t C = \sqrt{3} \tan C = \frac{1}{\sqrt{3}} ดังนั้น C = 30 ° จาก 1 A = 135 ° - C แทนค่า C = 30 ° จะได้ A = 135 - 30 = 105 ° ดังนั้น A = 105 °, B = 45 °, C = 30 °$

$หาค่าของ \cos^{2} (A - B - C) + \cos^{2} B + \cos^{2} C แทนค่ามุม A, B, C = \cos^{2} (105 - 45 - 30) + \cos^{2} 45 + \cos^{2} 30 = \cos^{2} 30 + \cos^{2} 45 + \cos^{2} 30 = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = 2$

ข้อถัดไป