ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 39

สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ ให้ S(n) แทนจำนวนคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
(1) a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก
(2) $\frac{n}{a} \in (0, 1]$
(3) $\frac{a}{b} \in (1, 2]$
(4) $\frac{b}{n} \in (2, 3]$
ค่าของ n ที่ทำให้ S(n) = 164 เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ n เป็นจำนวนเต็มบวก ข้อ (1) a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก ข้อ (2) \frac{n}{a} \in (0, 1]; n, a \in I^{+} จะได้ 0 < \frac{n}{a} \leq 1 0 \cdot a < \frac{n}{a} \cdot a \leq 1 \cdot a 0 < n \leq a แสดงว่า a มีค่ามากกว่า หรือเท่ากับ n$

$ข้อ (4) \frac{b}{n} \in (2, 3]; b, n \in I^{+} จะได้ 2 < \frac{b}{n} \leq 3 2 \cdot n < \frac{b}{n} \cdot n \leq 3 \cdot n 2 n < b \leq 3 n \to 1 แสดงว่า b > 2 n และ b \leq 3 n ข้อ (3) \frac{a}{b} \in (1, 2]; a, b \in I^{+} จะได้ 1 < \frac{a}{b} \leq 2 1 \cdot b < \frac{a}{b} \cdot b \leq 2 \cdot b b < a \leq 2 b \to 2$

$จากข้อ (4) b > 2 n และ b \leq 3 n ลองให้ b = 2 n + 1 จะได้ b = 2 n + 1; เนื่องจาก b \in I^{+} และ b > 2 n b = 2 n + 2 b = 2 n + 3 ⋮ b = 2 n + n = 3 n ดังนั้น จำนวนกรณีที่ b เป็นไปได้ = 3 n - (2 n + 1) + 1 = n ตัว$

$ลองให้ b = 2 n + 1 จาก 2 จะได้ 2 n + 1 < a \leq 2 (2 n + 1) 2 n + 1 < a \leq 4 n + 2 แสดงว่า a > 2 n + 1 และ a \leq 4 n + 2 จะได้ a = 2 n + 2; เนื่องจาก a \in I^{+} และ a > 2 n + 1 a = 2 n + 3 ⋮ a = 2 n + n = 3 n a = 3 n + 1 ⋮ a = 3 n + n = 4 n a = 4 n + 1 a = 4 n + 2 ดังนั้น จำนวนกรณีที่ a เป็นไปได้ = (4 n + 2) - (2 n + 2) + 1 = 2 n + 1 ตัว$

$จะเห็นว่า b = 2 n + 1 จะมี a มาจับคู่ = 2 n + 1 ตัว ลองให้ b = 2 n + 2 จะได้ b < a \leq 2 b 2 n + 2 < a \leq 2 (2 n + 2) 2 n + 2 < a \leq 4 n + 4 จะได้ a = 2 n + 3 ⋮ a = 4 n + 4 ดังนั้น จำนวน a เป็นไปได้ = (4 n + 1) - (2 n + 3) + 1 = 2 n + 2 ตัว จะเห็นว่า b = 2 n + 2 จะมี a มาจับคู่ = 2 n + 2 ตัว$

$จาก 1 2 n < b ⩽ 3 n กรณี b = 2 n + 1 \to คู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด 2 n + 1 ตัว b = 2 n + 2 \to คู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด 2 n + 2 ตัว ⋮ ⋮ b = 2 n + n = 3 n \to คู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด 3 n ตัว$

$จากโจทย์ S (n) แทนจำนวนคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด จะได้ S (n) = (2 n + 1) + (2 n + 2) + (2 n + 3) + . . . + (2 n + n) = \underset{n}{\underset{⏟}{(2 n + 2 n + 2 n + . . . + 2 n)}} + (1 + 2 + 3 + . . . + n) = 2 n (n) + \frac{n (n + 1)}{2} = 2 n^{2} + \frac{n (n + 1)}{2}$