ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 44

หนังสือเล่มหนึ่งมี 500 หน้า หน้าแรกมีคำผิด 1 คำ เว้นไป 1 หน้า หน้าที่สามมีคำผิด 1 คำ เว้นไป 3 หน้า หน้าที่เจ็ดมีคำผิด 1 คำ เว้นไป 5 หน้า จำนวนหน้าที่ไม่มีคำผิดจะเพิ่มขึ้นทีละ 2 หน้า จำนวนคำผิดในหนังสือเล่มนี้เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$กำหนดให้ หน้าที่มีคำผิด คือ หน้าที่ใส่ a หน้าที่ผิด a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} หน้าที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13$

$วิเคราะห์จากโจทย์ จะได้ว่า ผิดคำที่ 1 อยู่หน้าที่ 1 จะได้ a_{1} = 1 ผิดคำที่ 2 อยู่หน้าที่ 3 จะได้ a_{2} = 3 ผิดคำที่ 3 อยู่หน้าที่ 7 จะได้ a_{3} = 7 ผิดคำที่ 4 อยู่หน้าที่ 13 จะได้ a_{4} = 13$

$จะเห็นว่า - ผลต่างของ a_{2} - a_{1} = 2, a_{3} - a_{2} = 4, a_{4} - a_{3} = 6 เป็นลำดับเลขคณิต (2, 4, 6, . . . \to d = 2)$

$จัดรูป a_{1} = 1 a_{2} = 3 = 1 + 2 = 1 + 2 (1) a_{3} = 7 = 1 + 2 + 4 = 1 + 2 (1 + 2) a_{4} = 13 = 1 + 2 + 4 + 6 = 1 + 2 (1 + 2 + 3) ดังนั้น a_{n} = 1 + 2 [1 + 2 + 3 + . . . . . + (n - 1)]$

$โดย [1 + 2 + 3 + . . . . . + (n - 1)] = \sum_{} (n - 1) จะได้ a_{n} = 1 + 6 \sum_{} (n - 1) \to 1$

$สูตร \sum n = \frac{n}{2} (n + 1) ตัวสุดท้ายของอนุกรมเป็น n - 1 ดังนั้นต้องแปลงสูตรก่อน ดังนั้น \sum_{} (n - 1) = \frac{(n - 1)}{2} [(n - 1) + 1] \sum_{} (n - 1) = \frac{(n - 1)}{2} (n) - แทน \sum_{} (n - 1) ลงใน 1; จะได้ a_{n} = 1 + 2 [\frac{(n - 1)}{2} (n)] a_{n} = 1 + (n - 1) (n)$

$จากโจทย์ หนังสือเล่มนี้มี 500 หน้า แสดงว่า a_{n} \leq 500 - ลองแทนค่า n = 22 ใน a_{n} จะได้ 1 + (22 - 1) (22) \leq 500 463 \leq 500 \to ถูกต้อง (ใช้วิธีลองแทนค่า n จะง่ายกว่าวิธีอื่นมาก) ดังนั้น จำนวนคำผิดในหนังสือเล่มนี้ คือ 22$